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202 5 / 10/20 ( 月 ) 積分の公式   ( 2 回目 )   ( integral )   ■   積分 (応用) ▼ 三角関数 f(θ) = cosθ + isinθ f'(θ) = -sinθ + icosθ if'(θ) = -isinθ - cosθ = -f(θ) f(θ) = -if'(θ)  … ① f(θ) = exp(iθ)と置くと f'(θ) = iexp(iθ) i f'(θ) = -exp(iθ) = -f(θ) f(θ) = -if'(θ) で式 ①を満たす   exp(iθ)  = cosθ + isinθ exp(-iθ) = cosθ - isinθ sinθ = {exp( i θ ) -  exp(- i θ )} /(2i) cosθ = {exp( i θ ) +  exp(- i θ )} /2 tanθ = {exp( i θ ) -  exp(- i θ )} / {exp( i θ ) +  exp(- i θ )} i   ▼ 双曲線関数 sinhθ = {exp( θ ) -  exp(- θ )} /2 coshθ = {exp( θ ) +  exp(- θ )} /2 tanhθ = {exp( θ ) -  exp(- θ )} / {exp( θ ) +  exp(- θ )}   ▼ 混合 isin(iθ) = {exp( - θ ) - exp( θ )} /2 = - sinhθ   cos(iθ) = {exp( - θ ) + exp( θ )} /2 =  cos hθ itan(iθ) = {exp( - θ ) - exp( θ )} / {exp( - θ ) + exp( θ )}   = -tanhθ   ▼ 双曲線関数 y = tanhθ = -itan(iθ) iy = tan(iθ) iθ = tan -1 (iy) θ = -itan -1 (iy) = tanh -1 y   ▼ √(r 2   + x 2 ) ∫√(r 2 ...

202 5 /10 /15 (水 ) 積分の公式   (1回目)   ( integral )   ■   積分 (公式) ▼   三角関数の公式 (sinθ)' =  cosθ (cosθ)' = -sinθ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos 2 α - sin 2 α = cos 2 α - (1 - cos 2 α) = 2cos 2 α - 1 = (1 - sin 2 α) - sin 2 α = 2sin 2 α + 1   ▼   導出 f(x) = √(r 2   - j 2 x 2 )   x =(r/j)sinθと置く dx/dθ = (r/j)cosθ, dx = (r/j)cosθdθ   θ = sin -1 (jx/r) sinθ = jx/r, cosθ = √(1 - sin 2 θ) = √(1 - j 2 x 2 /r 2 ) tanθ = (jx/r)/√(1 - j 2 x 2 /r 2 ) = jx/√(r 2   - j 2 x 2 ) θ = tan -1 {jx/√(r 2   - j 2 x 2 )}   F 1   = ∫f(x)dx = ∫√(r 2   - j 2 x 2 )dx = ∫√(r 2   - j 2 (r/j) 2 sin 2 θ)(r/j)cosθdθ = (r/j)∫√{r 2 (1 - sin 2 θ)}cosθdθ = (r/j)∫r√(cos 2 θ)cosθdθ = (r 2 /j)∫cos 2 θdθ = (r 2 /j)(1/2)∫( cos2 θ + 1) dθ = (r 2 /j)(1/2){(1/2)sin2θ + θ} + C = (r 2 /j)(1/2){(1/2)2(sinθcosθ) + θ} + C = j(r 2 /j 2 )(1/2){sinθ√(1 - sin 2 θ) + θ} + C = j(1/2){(...

202 5 / 10/10 ( 金 ) N88-BASICで斜面投射   ( slope )   ■   斜面投射 ▼   問題 傾斜角 θの摩擦のある斜面に沿って斜方投射するとその軌跡はどうなるか   ▼   運動方程式 動摩擦力 F' = μ'N = μ'mgcosθ 傾斜面に垂直な方向の重力加速度の成分 gsinθ 加速度ベクトル a (t)   = (a x (t), a y (t)) 速度ベクトル　 v (t)   = (v x (t), v y (t)) とすると   a (t) = -(0,   gsinθ )   - { v (t)/| v (t)| } μ'gcosθ   ▼   数値計算 a (t) = -(0,   gsinθ )   - { v (t)/| v (t)| } μ'gcosθ この微分方程式を 位置ベクトル x (t ) = (x(t), y(t)) について解くのは困難なので近似値を数値計算する   時間の増分を ⊿tとし a (t) = -(0,   gsinθ )   - { v (t)/| v (t)| } μ'gcosθ v (t + ⊿t ) = v ( t )   + a (t) ⊿t x (t + ⊿t ) = x ( t )   + v (t) ⊿t という大雑把な式で計算しています ⊿tが小さいほど精度が上がり計算時間が増えます     ▼   動作 初速度 v 0   = (v x , v y )を入力すると軌跡を描画します     V L, NL-BASICとdlg～.zip( slop001 .bas)は このブログ (以下のリンク)からダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい