VL-BASICで3乗の展開の図 (1回目)
2021/7/22(木)
VL-BASICで3乗の展開の図 (1回目)
二項式の展開
(a + b)n = (a + b)(a + b) … (a + b)
右辺のn個の(a + b)から
aをn-i個、bをi個選んだ項はan-ibi となり
n個のbからi個のbを選ぶ
(= n個のaからn-i個のaを選ぶ)
組み合わせはnCi 通りとなる
i = 0～nまですべての場合の和が展開式と
なるので、二項定理
(a + b)n = ΣnCian-ibi (i = 0～n)
を導ける
例
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
１回目 ２回目 ３回目
を展開した各項は、a,bどちらかを
3回選んだ積になっており
aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb
aab(またはabaやbaaも同じ)つまり
aが2回、bが1回の組合せは
3個中2個aを選ぶ、または、
3個中1個bを選ぶ、選び方と同じなので
3C2 = 3C1 = 3通り(上記図でも3通りと分かる)
となる
(aabの並べ方3!/(2!1!)に等しい)
(abbも同じ)
同様にaaa(とbbb)は3C3 = 3C0 = 1通り
よって
(a + b)3 = ΣnCian-ibi (i = 0～3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
n = 0～を縦に、i = 0～nを横にnCi の値を
並べたものをパスカルの三角形と言う
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
…
下記の通り、各数値は
1段上の左右の数値の和になっている
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)
1 2 1
= a3 + (a2)b + (2ab)a + (2ab)b + (b2)a + b3
1 1 + 2 2 + 1 1
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1 3 3 1
となる
図形的意味
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 は
a2:水色, ab:緑, ab:緑, b2:黄 (上図中の大きい順)
の4個の長方形(正方形含む)の面積の和
a2 + 2ab + b2 が
全体の正方形の面積
(a + b)2 と
なっている事が分かります
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 は、
a3 :紫, a2b:水色(3個), ab2:緑(3個), b3:黄 (上図中の大きい順)
の8個の直方体(立方体含む)の体積の和
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 が
全体の立方体の体積
(a + b)3 と
なっている事が分かります
おまけ(以下nCrの解説)
順列(Permutation)は
異なるn個からr個選んで並べた
並べ方の数です
nPr 通りの並べ方があります
当然(n≧r)です
nPr = n･(n-1)･ … ･(n-r+1)
nから1ずつ減らしてr個掛ける
例
A,B,Cから2個選び並べる
1 2
□□
上記、箱1にA～Cの3個中1個を置く
箱2に残り2個中1個を置く
3･2 = 6通りの選び方があります
3P2 = 3･2 = 6です
1 2
A-B
A-C
B-C
B-A
C-A
C-B
の6通り(3･2通り)です
n個すべてを並べる場合は
n!(nの階乗factorial)を使います
n! = nPnです
また
n! = n･(n-1)!
1! = 1･0! = 1より
0! = 1です
組合せ(Combination)は
異なるn個からr個選ぶ
選び方の数です
nCr 通りの選び方があります
当然(n≧r)です
nPrは選んだr個を並替えますが
nCrは選ぶだけで並替えません
nCr = nPr/r! = n･(n-1)･ … ･(n-r+1)/r!
nから1ずつ減らしてr個掛けてr!で割る
例
A,B,Cから2個選ぶ
1 2
□□
上記、箱1にA～Cの3個中1個を置く
箱2に残り2個中1個を置く
3･2 = 6通りの選び方があります
3P2 = 3･2 = 6です
1 2
A-B
A-C
B-C
B-A
C-A
C-B
の6通り(3･2通り)です
しかし、
A-BとB-Aは同じAとBの組合せです
2個を並替えた場合の数(2!=2)ずつ同じ組合せが
存在するので2!で割ります
3C2 = 3P2/2! = 3･2/2 = 6/2 = 3通り
1 2
A-B (B-Aは同じ組合せ)
A-C (C-Aは同じ組合せ)
B-C (C-Bは同じ組合せ)
の3通りです
nPr = nCr ･ r!
nCr = nPr / r!
です
nCr = nPr/r! = n!/{(n-r)!r!}
nCn-r = n!/[{n-(n-r)}!(n-r)!] = n!/{r!(n-r)!}
= nCr
も便利な法則です
blg～.zip(cub001v.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます
Readme.txtを読んで遊んで下さい
