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N88-BASICでフーリエ変換 (2回目)

2025/3/24(月) N88-BASICでフーリエ変換 ( 2 回目 ) (fourier) ■ 離散フーリエ変換(DFT)( Discrete Fourier Transform ) ▼ 前提 https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/03/fourier-6.html フーリエ変換 (6回目) より T:サンプル計測時間 N:サンプル総数 t k :サンプルの計測時刻( k = 0, 1, 2, …, N-1) , t k = k( T/N ) y k :各サンプルの計測値( k = 0, 1, 2, …, N-1) 周波数 f n = n /T ( n = 1 , …, N) y(t k ) = 2 Σ n = 0 N {A ( f n )exp(i 2πf n t k ) } A(f n ) = (2 /N ) Σ k = 0 N-1 { y k e xp(-i 2πf n t k ) } A = |A(f n )| … |exp(-ix)| = √{cos 2 x + sin 2 x)} ▼ 動作 y(t)をcos,sinの合成波として定義し A = |A(f k )| を求めて周波数 f n と、振幅 A を表示しています VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip( fou 00 2 .bas)はこのブログ (以下のリンク)からダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

フーリエ変換 (6回目)

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2025/3/14(金) フーリエ変換 ( 6 回目 ) (fourier t ransform ) ■ 離散フーリエ変換(DFT)( Discrete Fourier Transform ) ▼ 結果 T:サンプル計測時間 N:サンプル総数 t k :サンプルの計測時刻( k = 0, 1, 2, …, N-1) , t k = k( T/N ) y k :各サンプルの計測値( k = 0, 1, 2, …, N-1) 周波数 f n = n /T ( n = 1 , …, N) y(t k ) = 2 Σ n = 0 N {A ( f n )exp(i 2πf n t k ) } A(f n ) = (2 /N ) Σ k = 0 N-1 { y k e xp(-i 2πf n t k ) } A = |A(f n )| … |exp(-ix)| = √{cos 2 x + sin 2 x)} ▼ 式フーリエ変換 (FT) y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数 y(t) = ∫ -∞ ∞ {A ( f )e i2πft } d f A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt T:サンプル計測時間 N:サンプル総数 t k :各サンプルの計測時刻( k = 0, 1, 2, …, N-1) y k :各サンプルの計測値　( k = 0, 1, 2, …, N-1) y(t k ) = y k , Δt = T/N , t k = k Δt = k( T/N ) Δ f = 1/T 周波数 f n = n Δ f = n/T ( n = 1, …, N) A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt = 2 ∫ 0 ∞ {y(t)e -i2πft } dt + 2･0 … y(t)偶関数+奇関数 A(f n ) = 2 Σ k = 0...

フーリエ変換 (5回目)

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2025/3/4(火) フーリエ変換 ( 5 回目 ) (fourier t ransform ) ■ フーリエ変換(FT)( F ourier T ransform ) (周期が∞のフーリエ級数) ▼ 結果 y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数 y(t) = ∫ -∞ ∞ {A ( f )e i2πft } d f A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt ▼ 式複素フーリエ級数 (周期T , 周波数 f n = n/T, n = 0, ± 1, ± 2, …, ± N → ± ∞) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πf n t ) } c n = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt 周期 T→∞とするので、 F = 1/T (F→0)とする周波数 f = f n = n/T = nF, T = 1/F = n/fと置いて c n = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt = F ∫ 0 1/F {y(t)e xp(-i2πft )}dt = F ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft )}dt A(f) = ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft )}dt と置く c n = FA(f) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πft ) } = Σ n=- N N {FA(f n ) e xp(i2πft ) } ( F →0)は面積を表すので = ∫ - N N { A( f n )e xp(i2πft ) } d f (N→∞) A(f) = ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft ) } dt (F→0) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e xp(-i2πft ) } dt

フーリエ変換 (4回目)

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2025/3/1(土) フーリエ変換 ( 4 回目 ) (fourier) ■ 複素フーリエ級数 ▼ 結果 (周期T , 周波数 f n = n/T, n = 0, ± 1, ± 2, …, ± N → ± ∞) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πf n t ) } c n = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt ▼ 式周期 Tのフーリエ級数 (周期T , 周波数 f n = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n = (2/T)∫ 0 T y(t)cos(2π f n t )dt b n = (2/T)∫ 0 T y(t)sin(2π f n t )dt e ix = cosx + isinx e -ix = cosx - isinx cosx = (e ix + e -ix )/2 sinx = (e ix - e -ix )/(2i) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} = (a 0 /2) + Σ n=1 N [ a n { e xp( i2π f n t) + e xp(- i2π f n t)} /2 + b n { e xp( i2π f n t) - e xp(- i2π f n t)} /(2i) ] = (a 0 /2) + Σ n=1 N [ a n { e xp( i2π f n t) + e xp(- i2π f n t)} /2 - i b n { e xp( i2π f n t) - e xp(- i2π f n t)} /2 ] = (a 0 /2) + Σ n=1 N [( a n ...