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2025/11/21(金)   等速円運動 ( 2 回目 )   ( uniform circular motion )   ■ 等速円運動 ▼ 等速円運動 の軌跡 φ φ(x, y, z) = x 2   + y 2   - r 2   と置くと φ(x, y, z) = 0 は原点を中心とする半径 rのxy平面上の円を表す   ▼ 勾配 grad gradφ = ∇ φ  = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) φ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) (x 2   + y 2   - r 2 ) = ( ( ∂/∂x )(x 2   + y 2   - r 2 ) , ( ∂/∂y )(x 2   + y 2   - r 2 ) , ( ∂/∂z )(x 2   + y 2   - r 2 ) ) = ( 2x ,   2y ,   0)   これは点 (x, y)での法線の方向を示すベクトルになっている様です   ■ 結果 ▼ 軌跡 φ φ(x, y, z) = x 2   + y 2   - r 2   = 0   ▼ 勾配 grad gradφ = ( 2x ,   2y ,   0)  … 点 (x, y)での法線方向  

2025/11/15(土)   等速円運動 (1回目)   ( uniform circular motion )   ■ 等速円運動 ▼ 位置R、速度V、加速度A θ :角度 ω:角速度 t :時間   R = (x, y, z) = (rcosθ, rsinθ, 0) = (rcosωt, rsinωt, 0)   V = (v x , v y , v z ) = ((d/dt)rcosωt, (d/dt)rsinωt, (d/dt)0) = (-ωrsinωt, ωrcosωt, 0) = (-ωy, ωx, 0)   A = (a x , a y , a z ) = ((d/dt)(-ωrsinωt), (d/dt)ωrcosωt, (d/dt)0) = (-ω 2 rcosωt, -ω 2 rsinωt, 0) = (-ω 2 x, -ω 2 y, 0)   ▼ ナブラ ∇ ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)   ▼ 回転rot rotR = ∇ ×R = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ×(x, y, z) = (( ∂/∂ y)z - ( ∂/∂ z)y, ( ∂/∂ z)x - ( ∂/∂ x)z, ( ∂/∂ x)y - ( ∂/∂ y)x) = (0, 0, ( ∂/∂ x)rsinωt - ( ∂/∂ y)rcosωt) = (0, 0, 0)   rotV = ∇ ×V = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ×(v x , v y , v z ) = (( ∂/∂ y)v z   - ( ∂/∂ z)v y , ( ∂/∂ z)v x   - ( ∂/∂ x)v z , ( ∂/∂ x)v y   - ( ∂/∂ y)v x ) = (0, 0, ( ∂/∂ x)ωx - ( ∂/∂ y)(-ωy)) = (0, 0, ω - (-ω)) = (0, 0, 2ω)   rotA = ∇ ×A = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ×(a x , a y , a z ) = (( ∂/∂ y)a z   - ( ∂/∂ z)a y , ( ∂/∂ z)a x   - ( ∂/∂ ...

202 5 / 10/10 ( 金 ) N88-BASICで斜面投射   ( slope )   ■   斜面投射 ▼   問題 傾斜角 θの摩擦のある斜面に沿って斜方投射するとその軌跡はどうなるか   ▼   運動方程式 動摩擦力 F' = μ'N = μ'mgcosθ 傾斜面に垂直な方向の重力加速度の成分 gsinθ 加速度ベクトル a (t)   = (a x (t), a y (t)) 速度ベクトル　 v (t)   = (v x (t), v y (t)) とすると   a (t) = -(0,   gsinθ )   - { v (t)/| v (t)| } μ'gcosθ   ▼   数値計算 a (t) = -(0,   gsinθ )   - { v (t)/| v (t)| } μ'gcosθ この微分方程式を 位置ベクトル x (t ) = (x(t), y(t)) について解くのは困難なので近似値を数値計算する   時間の増分を ⊿tとし a (t) = -(0,   gsinθ )   - { v (t)/| v (t)| } μ'gcosθ v (t + ⊿t ) = v ( t )   + a (t) ⊿t x (t + ⊿t ) = x ( t )   + v (t) ⊿t という大雑把な式で計算しています ⊿tが小さいほど精度が上がり計算時間が増えます     ▼   動作 初速度 v 0   = (v x , v y )を入力すると軌跡を描画します     V L, NL-BASICとdlg～.zip( slop001 .bas)は このブログ (以下のリンク)からダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

202 5 / 8 / 25 ( 月 ) N88-BASICで 懸垂線 (改訂版)   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■   前提 https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/08/catenary-8.html 懸垂線 (改訂版) (8回目) より   ▼   定義 g   : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ   :紐の線密度 [kg/m] L   : 紐の長さ [ m ] (0 < √(x 1 2   + y 1 2 ) < L) x 1   : 紐の両端間の水平距離 [ m ] y 1   : 紐の左端に対する右端の高さ [ m ] が分かっている   H   :水平張力[N] (紐の頂点での張力) x 0   : 左端から紐の底までの水平距離 [ m ] y   : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 )   ▼   H H = ρ g λ   ▼   y(x)のグラフ λを ニュートン法 で求める α = log{(1   +   y 1 /L) /(1   -   y 1 /L) }と置く β  = (1 /L)cosh( α / 2 ) と置く f( λ ) = 2 β sin h(x 1 / ( 2 / λ ) )  - 1/ λ   = 0 f ' ( λ ) = (1/λ 2 ){1 - β x 1 cos h(x 1 / ( 2 λ ) ) }   初期値 λ 0   = x 1 /[2√{ 6 /( β x 1 ) - 6 }]        … 近似式 Δ λ n  = f( λ n )/f ' ( λ n ) λ n+1  = λ n   -   Δ λ n   λ  = λ n +1  (if |Δ λ n | ...

202 5 / 8 / 24 ( 日 ) 加速度座標系   　天動説と地動説は 加速度座標系 (円運動)なので どちらが現実に近いかが加速度の測定で分かります   　慣性座標系は等価なのでどちらが基準かを知る方法は ありませんが 加速度座標系は加速度を測定できるため等価ではないので どちらがより基準に近いかが分かります     　慣性系の例 　 2つの列車が相対速度0以外で並走していて どちらかに乗っていて相手の列車以外観測できなければ 自分か相手のどちらが動いているか分からなくなる   　加速度系の例 　エレベーターに乗っている人と外で立っている人の 2人が互いに見ているとき エレベーターが上昇すると乗っている人は加速度を感じ 外の人は加速度を感じないので乗っている方が 動いたことが分かります これが現実です 　しかし、理論的 (数学的)にはエレベーター内の座標系で 外の座標系と同じぐらいの複雑さで外の人の動きを示し 外の人が加速して下に移動するように書けますが 現実ではありません 　その系自身が加速している事を忘れてはいけません 外の座標系は加速していなくてエレベータ内の座標系は 加速しているので等価ではないわけです   　天動説と地動説は地球の座標系で書くかその外の座標系で 書くかの違いでどちらも理論的には書くことができますが 地球の座標系は回転しているため 地球の外の座標系より、より加速度が大きいと言えるので より現実に近いのは地動説と言えるのです 　より簡単に書ける系がより正しい傾向にはありますが 一概にそうとも限らなくてそれよりも加速度座標系自体の 加速度がより小さい系を選ぶのがより現実に近い運動を 示すことができるということです   　天動説の「地球は動かない」という主張は間違いですが 地球を中心とした座標系は実際の運動ではなく見かけの運動を書いた という点では正しい   　地動説の「地球は動いている」という主張は正しいですし より大きな質量がより中心になるという主張ならこれも正しいが 太陽が中心という主張なら天動説よりは実際の運動に近いが 正確ではないということになりますが 地動説を唱えた人々が太陽は動かないと主張したとは思えません 観測される中で一番動きにくいと考えたはず...

202 5 / 8 / 20 ( 水 ) 懸垂線 (改訂版)   ( 8 回目 )   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■   問題 紐の両端を固定して垂らす   g   : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ   :紐の線密度 [kg/m] L   : 紐の長さ [ m ] (0 < √(x 1 2   + y 1 2 ) < L) x 1   : 紐の両端間の水平距離 [ m ] y 1   : 紐の左端に対する右端の高さ [ m ] が分かっている   H   :水平張力[N] (紐の頂点での張力) x 0   : 左端から紐の底までの水平距離 [ m ] y   : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 ) として次の問いに答えよ   (1) y(x) を g,ρ, x 0 , H ,x で表せ   (2) L を g,ρ, x 0 , x 1 , H   で表せ   (3) x 0   を g,ρ, L,x 1 , y 1 , H   で表せ   ( 4 ) H   を g,ρ,L, x 1 , y 1   から求める方法を示せ     問 (4)でH、問(3)でx 0 が求まり問 (1)で 紐の形状を描く ことができる     ■   略解 ▼ (1) y(x) を g,ρ, x 0 , H ,x で表せ λ  = H/(ρg) と置く y"  = (1/ λ ) √ ( 1 + y' 2 )                           … 懸垂線の微分方程式 y '(x)   = sinh(x / λ - x 0...