スケール変換 (2回目)
2026/4/11(土) スケール変換 (2回目) ■ 前回 ▼ 定義 t :時間 r (t):位置ベクトル v (t):速度ベクトル a (t):加速度ベクトル ▼ スケール変換 r '(t') = α r (t) = α r (α -k t') , t' = α k t v '(t') = α 1-k v (t) a '(t') = α 1-2k a (t) ▼ 万有引力 G:重力定数 M:質量大 m:質量小 F :万有引力ベクトル F = GMm r /| r | 3 r '(t') = α r (t), t' = α 3/2 t v '(t') = α -1/2 v (t) a '(t') = α -2 a (t) 距離を α倍すると、時間はα 3/2 倍、速度は α -1/2 倍 加速度は α -2 倍になる ▼ 地上での重力 g :重力加速度ベクトル m:質量 F :力ベクトル F = m g r '(t') = α r (t), t' = α 1/2 t v '(t') = α 1/2 v (t) a '(t') = α 0 a (t) 距離を α倍すると、時間はα 1/2 倍、速度は α 1/2 倍 加速度は α 0 倍になる ■ 疑問 ▼ 問題 万有引力 (宇宙)と重力(地上)の違い 軌道長半径 a(距離)を2倍すると周期T(時間)は2√2倍 高さ h(距離)を2倍すると落下時間t(時間)は√2倍 同じ物理法則下で距離を 2倍した時の時間のスケールが 2倍も異なるのはなぜか? ▼ 考察 万有引力は距離の 2乗に反比例するので 距離が離れると速度は遅くなり時間もよりかかる 地上での重力は距離に関係なく一定としているので 距離が離れても速度に影響なく時間もそれほど伸びない 地球の半径を R、地上からの高さをhとすると (R+h)/R ⋍ 1なので hを2倍にしても万有引力のときの距離は2倍より小さく 更に重力を距離に関係なく一定と近似している 影響と思われる ▼ おまけ 万有引力から地上の重力へ V( r ):ポテンシ...