ULprojectのホームページ © ULproject

2023/12/26(火) N88-BASICで振り子 (2回目)   単振り子 (Simple pendulum)   ■ 前提 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/12/pendulum-2.html 振り子 (2回目) より   ▼ 定義 ℓ :紐の長さ(m) m :質点の質量(kg) θ:鉛直下方向からの角度(rad) g :重力加速度 ω:角速度(rad/s) f :振動数(Hz) A :振幅(m) B :位相(rad)   ▼ 微分方程式 θ ( ･･ )  = -(g/ℓ)sinθ   ▼ 近似式 sinθ≒θ (|θ| << 1)の時 2πf = ω = √(g/ℓ) θ = Acos(ωt+B)   ▼ 近似式(初期角度が最大角の時) θ 0 :初期角度(最大角とする) 2πf = ω = √(g/ℓ) θ = θ 0 cos(ωt) θ ( ・ )  = -θ 0 ωsin(ωt) θ ( ･･ )  = θ 0 ω 2 cos(ωt)   ■ 動作 離す角度を入力し 数値計算の振り子(黄色) (積分 θ ( ・ ) =∫ θ ( ･･ ) dt等は長方形近似で計算しています) と 近似式の振り子(水色)  … (高校物理) を表示します   ■ PC-8801 1070 VSYNC = &HA0 '--- &HA0:PC-98 , &H40:PC-88 を 1070 VSYNC = &H40 '--- &HA0:PC-98 , &H40:PC-88 に変更するとPC-8801用になります     VL,NL,XL-BASICと blg～.zip (pend00 2 .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい    

2023/12/24(日) 振り子 (2回目)   振り子(Pendulum) 近似式   ■ 導出 ▼ 定義 ℓ :紐の長さ(m) m :質点の質量(kg) θ:鉛直下方向からの角度(rad) g :重力加速度   ▼ 角度(近似) sinθ≒θ (|θ| << 1) の時の近似式を求める   θ ( ･･ )  = -(g/ℓ)sinθ ≒ -(g/ℓ)θ 微分方程式 θ ( ･･ )  = -(g/ℓ)θ を解く   ω = √(g/ℓ) θ = Ae i( ω t + B)   とすると θ ( ･･ )  = -ω 2 Ae i( ω t + B)  = -ω 2 θ = -(g/ℓ)θ よって θ = Ae i( ω t + B)   は解の1つである   θ = Ae i( ω t + B)  = A{cos(ωt+B) + isin(ωt+B)} 実部のみ取り出して θ = Acos(ωt+B)     ▼ 初期角度が最大角の時 θ 0 :初期角度(最大角とする) θ = Acos(ωt+B) t = 0の時θ = θ 0   より θ 0  = Acos(B)  … 最大角 B = 0 θ 0  = A よって   θ = θ 0 cos(ωt) θ ( ・ )  = -θ 0 ωsin(ωt) θ ( ･･ )  = θ 0 ω 2 cos(ωt)     ■ 結果 ▼ 定義 ℓ :紐の長さ(m) m :質点の質量(kg) θ:鉛直下方向からの角度(rad) g :重力加速度 ω:角速度(rad/s) f :振動数(Hz) A :振幅(m) B :位相(rad)   ▼ 微分方程式 θ ( ･･ )  = -(g/ℓ)sinθ   ▼ 近似式 sinθ≒θ (|θ| << 1)の時 2πf = ω = √(g/ℓ) θ = Acos(ωt+B)   ▼ 近似式(初期角度が最大角の時) θ 0 :初期角度(最大角とする) 2πf = ω = √(g/ℓ) θ = θ 0 cos(ωt) θ ( ・ )  = -θ 0 ωsin(ωt) θ ( ･･ )  = θ 0 ω 2 cos(ωt)  

2023/12/20(水) 振り子 (1回目)   振り子(Pendulum) 微分方程式   ■ 図 図1.   ■ 導出 ▼ 定義 ℓ :紐の長さ(m) m :質点の質量(kg) θ:鉛直下方向からの角度(rad) g :重力加速度   ▼ 位置r x:支点からの右方向の変位(m) y:支点からの下方向の変位(m) r  = (x, y) = (ℓsinθ, ℓcosθ)   ▼ 速度v v  = r ( ・ )  = ( x ( ・ ) , y ( ・ ) ) = (ℓ θ ( ・ ) cosθ, -ℓ θ ( ・ ) sinθ)   ▼ 運動エネルギーT T = (1/2)mv 2  = (1/2)mℓ 2 θ ( ・ ) 2 {cos 2 θ + (-sinθ) 2 } = (1/2)mℓ 2 θ ( ・ ) 2     ▼ 位置エネルギーV 支点を0として V = mg(-y) = -mgℓcosθ   ▼ ラグランジアンL L = T - V = (1/2)mℓ 2 θ ( ・ ) 2  + mgℓcosθ   ▼ ラグランジュ方程式 q i  = θとして (d/dt)(∂L/∂ q ( ・ ) i ) = (∂L/∂q i ) を解く   (d/dt)(∂/∂ θ ( ・ ) ){(1/2)mℓ 2 θ ( ・ ) 2  + mgℓcosθ} = (d/dt)(mℓ 2 θ ( ・ ) ) = mℓ 2 θ ( ･･ ) (∂/∂θ){(1/2)mℓ 2 θ ( ・ ) 2  + mgℓcosθ} = -mgℓsinθ より   mℓ 2 θ ( ･･ )  = -mgℓsinθ θ ( ･･ )  = -(g/ℓ)sinθ     ■ ニュートンの運動方程式(別解1) ▼ ニュートンの運動方程式 F= ma   より 極座標表記で動径方向は一定なので θ方向のみ考える   F = -mgsinθ ma = mℓ θ ( ･･ ) より   mℓ θ ( ･･ )  = -mgsinθ θ ( ･･ )  = -(g/ℓ)sinθ     ■ ニュートンの運動方程式(別解2) ▼ 加速度a r  = (x, y) = ℓ(sinθ, cosθ) a  = v ( ・ )  = ℓ(d/dt)( θ ( ・ ) cosθ, - θ ( ・ ) sin

2023/12/17(日) N88-BASICで振り子 (1回目)   無重力 (等速円運動)(Uniform circular motion)   ■ 前提 ▼ 定義 r :動径(m) θ:角度(rad) ω:角速度(rad/s)   ▼ 式1 θ = 0の時をx軸の正の方向、半時計回りを正とした場合 x = rcosθ y = rsinθ   ■ 動作 2種類の回転数(回転/s)を入力し 2種類の等速円運動を表示します   ■ PC-8801 170 VSYNC = &HA0 '--- &HA0:PC-98 , &H40:PC-88 を 170 VSYNC = &H40 '--- &HA0:PC-98 , &H40:PC-88 に変更するとPC-88用になります     VL,NL,XL-BASICと blg～.zip ( pend 001.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2023/12/15(金) 解析力学 (5回目)   解析力学 (Analytical mechanics)   ハミルトニアンと正準運動方程式 の最小作用の原理   ■ 導出 ▼ 最小作用の原理 H(q α , p α , t) = p i q ( ・ ) i  - L(q α , q ( ・ ) α , t) より L(q α , q ( ・ ) α , t) = p i q ( ・ ) i  - H(q α , p α , t)   S[q α ] = ∫ t1 t2 L(t, q α , q ( ・ ) α )dt より δS[q α ] = δ∫ t1 t2 L(t, q α , q ( ・ ) α )dt =∫ t1 t2 δL(t, q α , q ( ・ ) α )dt = 0   δH(q α , p α , t) = H(q α +δq α , p α +δp α , t) - H(q α , p α , t) ≒ (∂H/∂q i )δq i  + (∂H/∂p i )δp i   とすると δL(q α , q ( ・ ) α , t) = δ{p i q ( ・ ) i  - H(q α , p α , t)} = q ( ・ ) i δp i  + p i δ q ( ・ ) i  - δH(q α , p α , t) ≒  q ( ・ ) i δp i  + p i δ q ( ・ ) i  - {(∂H/∂q i )δq i  + (∂H/∂p i )δp i } と 始点と終点のズレは0なので δq i (t 1 ) = δq i (t 2 ) = 0と 部分積分 ∫fg' = fg - ∫f'g を使って ∫ t1 t2  p i δ q ( ・ ) i dt = [p i δq i ] t1 t2  - ∫ t1 t2 p ( ・ ) i δq i dt = 0 - ∫ t1 t2 p ( ・ ) i δq i dt を使って     δS = ∫ t1 t2 δL(t, q α , q ( ・ ) α )dt = ∫ t1 t2 q ( ・ ) i δp i dt + ∫ t1 t2  p i δ q ( ・ ) i dt - ∫ t1 t2 {(∂H/∂q i )δq i  + (∂H/∂p i )δp i

2023/12/12(火) 解析力学 (4回目)   解析力学 (Analytical mechanics)   ハミルトニアンと正準運動方程式   ■ 導出 ▼ 定義 正準変数 q j :正準座標(一般座標) p j :正準運動量(一般運動量) H   :ハミルトニアン L   :ラグランジアン t   :時間   L(q α , q ( ・ ) α , t) = T(q α , q ( ・ ) α , t) - V(q α ,  q ( ・ ) α ) p i  = (∂L/∂ q ( ・ ) i )   ラグランジュ方程式 (d/dt)(∂L/∂ q ( ・ ) i ) = (∂L/∂q i )     ▼ ハミルトニアンH(q α , p α , t) L(q α , q ( ・ ) α , t) = T(q α , q ( ・ ) α , t) - V(q α ,  q ( ・ ) α ) の q ( ・ ) α をp α で表したものをハミルトニアン H(q α , p α , t)と定義する   p i  = (∂L/∂ q ( ・ ) i )を (d/dt)(∂L/∂ q ( ・ ) i ) = (∂L/∂q i )に代入して p ( ・ ) i  = (∂L/∂q i )   d(p i q ( ・ ) i ) = (dp i ) q ( ・ ) i  + p i d q ( ・ ) i  より p i d q ( ・ ) i  = d(p i q ( ・ ) i ) - (dp i ) q ( ・ ) i     Lの全微分 dL = (∂L/∂q i )dq i  + (∂L/∂ q ( ・ ) i )d q ( ・ ) i  + (∂L/∂t)dt = p ( ・ ) i dq i  + p i d q ( ・ ) i  + (∂L/∂t)dt = p ( ・ ) i dq i  + {d(p i q ( ・ ) i ) - (dp i ) q ( ・ ) i } + (∂L/∂t)dt dL - d(p i q ( ・ ) i ) = p ( ・ ) i dq i  - (dp i ) q ( ・ ) i  + (∂L/∂t)dt d(L - p i q ( ・ ) i ) = p ( ・ ) i dq i  - (dp i ) q ( ・

2023/12/9(土) 解析力学 (3回目)   解析力学 (Analytical mechanics)   オイラー･ラグランジュ方程式   ■ 導出 ▼ 変分法 ある基準からのズレをδで表すことにする y = y(x) f(x, y, y')という関数に対して I = I[y]  … 関数yの関数(xの値によらない値となる) I = ∫ a b f(x, y, y')dx  … ① とし   δI = ∫ a b δf(x, y, y')dx  … ② を定義する ただし始点aと終点bでのズレは無いものとする δy(a) = δy(b) = 0   また (y, y') → (y+δy, y'+δy') に変化したときのfの変化量は δf(x, y, y') = f(x, y+δy, y'+δy') - f(x, y, y') これは yによるfの傾き(∂f/∂y) × yの増分δyと y'によるfの傾き(∂f/∂y') × y'の増分δy' の和と近似できそうなので   δf(x, y, y') = f(x, y+δy, y'+δy') - f(x, y, y') ≒ (∂f/∂y)δy + (∂f/∂y')δy' と近似し、式①に適用すると   δI = ∫ a b δf(x, y, y')dx  … ② = ∫ a b {f(x,y+δy,y'+δy') - f(x,y,y')}dx ≒ ∫ a b {(∂f/∂y)δy + (∂f/∂y')δy'}dx   H = (∂f/∂y)δy , F = (∂T/∂y') , G' = δy' と置く   δy(a) = δy(b) = 0より [FG] a b  = [(∂T/∂y')δy] a b  = 0 と 部分積分 ∫FG' = FG - ∫F'G を使って   δI ≒ ∫ a b {(∂f/∂y)δy + (∂f/∂y')δy'}dx = ∫ a b (H + FG')dx = ∫ a b  H dx + ([FG] a

2023/12/3(日) 解析力学 (2回目)   解析力学 (Analytical mechanics)   ラグランジュ方程式   ■ 前提 ▼ 定義 f:自由度 d:次元 N:質点数 m:拘束条件数 t:時間 T:運動エネルギー F α :直交座標の力   f = Nd - m i,α = 1～f … (n = f/d)   ▼ 一般座標q i   直交座標x i  = (x 1 , y 1 , z 1 , … , x n , y n , z n ) 　極座標r i  = (r 1 ,θ 1 ,φ 1 , … , r n ,θ n ,φ n )   q i  = q i (x α ,t) = q i (r α ,t)   ▼ 一般速度 q ( ・ ) i   q ( ・ ) i  = q ( ・ ) i (x α , x ( ・ ) α , t) = (∂q i /∂x α ) x ( ・ ) α  + (∂q i /∂t) (∂ x ( ・ ) α /∂ q ( ・ ) i ) = (∂x α /∂q i )   ▼ 一般運動量p i   (∂T/∂ x ( ・ ) α ) = m α x ( ・ ) α   … (直交座標の運動量)   p i  = (∂T/∂ q ( ・ ) i ) = m α x ( ・ ) α (∂x α /∂q i )   ▼ 一般力Q i   F α  = m α x ( ･･ ) α   … (F = maより) Q i   = F α (∂x α /∂q i ) (∂T/∂q i )  … 慣性力   p ( ・ ) i  = (d/dt)(∂T/∂ q ( ・ ) i ) = Q i  + (∂T/∂q i )  … ①     ■ 導出 ▼ ラグランジュ方程式1 V:ポテンシャルエネルギー(時間変化なしとする) L:ラグランジアン (d/dt)(∂V(q i )/∂ q ( ・ ) i ) = 0の時   保存力F α  = -∂V/∂x α   一般力 Q i   = F α (∂x α /∂q i ) = -(∂V/∂x α )(∂x α /∂q i ) = -∂V(x γ )/∂q i   = -∂V(q γ )/∂q i     式①に代入 (d/dt)(∂T/∂ q ( ・ ) i ) = Q i  + (∂T