N88-BASIC?VL,NL,XL-BASIC by ULproject

2023/ 6 / 5 ( 月 ) 極座標  (1回目)   極座標 表示 、 ヤコビアン 、 ナブラ ∇ の導出   ■ 導出 ▼  P(x,y,z)の極座標表示       図 1 . P(x,y,z)の極座標表示と微小体積   ▼  P(x,y,z)の極座標表示 の導出 図 1 より z = rcosθ , s  = rsin θ  = √(x 2 +y 2 ) x  = s cosφ , y = s sinφ より x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ   r = √(x 2 +y 2 +z 2 ) θ= Tan -1 {√(x 2 +y 2 )/z} φ= Tan -1 (y/x)   ▼   ヤコビアン の導出 微小体積 d V = dxdydz   = dr ･ r d θ･r sin θ d φ =  r 2 sin θd rd θ d φ より r 2 sin θ … ( ヤコビアン )   ▼ 微分公式 u = tant = sint/cost (d/dt)(1/cost) = sint/cos 2 t du/dt = sin 2 t/cos 2 t + cost/cost = tan 2 t + 1 t = Tan -1 u dt/du = 1 / {tan 2 t + 1} = 1/(u 2 +1)   ▼   ナブラ ∇ の導出 ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)   ∂/∂x = (∂r /∂x)(∂/∂r ) + (∂θ/∂x)(∂/∂θ) + (∂φ/∂x)(∂/∂φ)     r = √(x 2 +y 2 +z 2 ) より ∂r/∂x = 2x(1/2)/√(x 2 +y 2 +z 2 ) = x/r なので ∂r/∂x = x/r = sinθcosφ ∂r/∂y = y/r = sinθsinφ ∂r/∂z = z/r = cosθ     θ= Tan -1 {√(x 2 +y 2 )/z} より ∂θ/∂x = (1/z)2x(1/2)/√(x 2 +y 2 ) /{(x 2 +y 2 )/z 2 +1} = x/{z√(x 2 +y 2 )(x 2 +y 2 +z 2 )/z 2 } = zx/{r 2 √(x 2 +y 2 )} = rcosθrsinθcosφ/(r

2023/6/3(土) 複素数   (Complex number)   複素数の積が回転を表す事を示す   複素数を大文字で表すとする 実軸とのなす角をα、β、γとする   (1)tanの加法定理を使用   A = a + ci、α = Tan -1 (c/a) B = b + di、β = Tan -1 (d/b)   C = AB = (a + ci)(b + di) = ab + adi + bci - cd = ab - cd + (ad + bc)i γ = Tan -1 {(ad + bc)/(ab - cd)}   γ = α+βを示す   tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) = (c/a + d/b) / {1 - (c/a)(d/b)} = ab(c/a + d/b) / {ab - ab(c/a)(d/b)} = (bc + ad) / (ab - cd) = tanγ よって α+β = γ   または Tan -1 u + Tan -1 v = Tan -1 {(u+v)/(1-uv)}より α + β = Tan -1 (c/a) + Tan -1 (d/b) = Tan -1 [(c/a + d/b)/{1 - (c/a)(d/b)}] = Tan -1 {(bc + ad)/(ab - cd)} = γ       (2)極座標で示す A = a(cosα + isinα) B = b(cosβ + isinβ)   C = c(cosγ + isinγ) = AB = a(cosα + isinα)b(cosβ + isinβ) = ab{(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)} = ab{cos(α+β)+isin(α+β)} よって γ = α+β       (3)指数表記で示す e iθ  = cosθ + isinθ … オイラーの公式 より A = a(cosα + isinα) = ae iα   B = b(cosβ + isinβ) = ae iβ   C = c(cosγ + isinγ) = ce iγ   = AB = ae iα be iβ   = abe i(α+β)   よって γ = α+β       (4)ド

2023/5/30(火) N88-BASICで量子力学 (2回目)   (Quantum mechanics)   今回はトンネル効果の透過率です     シュレディンガー方程式の導出 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-1.html 量子力学 (1回目)   時間に依存しないシュレディンガー方程式の分離 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-2.html 量子力学 (2回目)   トンネル効果 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-5.html 量子力学 (5回目)     ■ 記号 x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] d :壁の長さ(m) V 0 :壁のポテンシャル [V 0 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)     ■ 長さ有限の壁の解 長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV 0 ≧E)   ■ トンネル効果の透過確率T φ(x < 0  ) = Aexp(ikx) + A'exp(-ikx) φ(0≦x≦d) = Bexp(λx) + B'exp(-λx) φ(x > d  ) = Cexp(ikx) + C'exp(-ikx) について 波がx < 0の位置から右進行している場合 A exp( ikx) … 壁の左側の入射波(右進行) A'exp(-ikx) … 壁の左側の反射波(左進行) C exp( ikx) … 壁の右側の透過波(右進行) となる   存在確率 |φ(x)| 2  より 透過率T = |C/A| 2       ■ r-Tグラフ r = E/V 0  : 0 ＜ r ≦ 1

2023/5/27(土) 量子力学 (5回目)   (Quantum mechanics)   今回はトンネル効果です     ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] d :壁の長さ(m) V 0 :壁のポテンシャル [V 0 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 長さ有限の壁の解 長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV 0 ≧E)   ▼ x < 0 のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (-2mE/ℏ 2 )φ(x) k = √(2mE/ℏ 2 ) … (E ≧ 0) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x) φ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx) (代入すると成り立つ)   ▼ 0 ≦ x ≦ dのとき {ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x) (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 ){V(x) - E}φ(x) V(x) = V 0  より   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 )(V 0  - E)φ(x) λ = √{(2m/ℏ 2 )(V 0  - E)} … (V 0  ≧ E) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = λ 2 φ(x) φ(x) = Cexp(λx) + Dexp(-λx) (代入すると成り立つ)   ▼ x > d のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x) x < 0のとき同様にして φ(x) = Fexp(ikx) + Gexp(-ikx)     ■

2023/5/24(水) 量子力学 (4回目)   (Quantum mechanics)   今回は片側有限の井戸型ポテンシャルの解です     ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J･s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] L :井戸の底の長さ(m) V 1 :井戸の有限壁のポテンシャル [V 1 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 有限の井戸型ポテンシャル 底の長さLの井戸(壁のポテンシャルが∞とV 1 ≧E)   ▼ x < 0 のとき V(x) = ∞ φ(x) = 0 … 存在確率|φ(x)| 2  = 0   ▼ 0 ≦ x ≦ L のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (-2mE/ℏ 2 )φ(x) k = √(2mE/ℏ 2 ) … (E ≧ 0) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x) 前回の微分方程式の解より φ(x) = Bcos(kx)+Asin(kx)   ▼ x > L のとき V(x) = V 1   φ(∞) = 0 … 存在確率|φ(∞)| 2  = 0   {ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x) (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 ){V(x) - E}φ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 )(V 1  - E)φ(x) λ = √{(2m/ℏ 2 )(V 1  - E)} … (V 1  ≧ E) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = λ 2 φ(x) φ(x) = Cexp(-λx) + Dexp(λx) (代入すると成り立つ)   φ(∞) = 0