2026/4/4(土) スケール変換 (1回目) ■ スケール変換 ▼ 定義 t :時間 r (t):位置ベクトル v (t):速度ベクトル a (t):加速度ベクトル 座標軸を α倍に時間軸をβ倍に 座標変換 (スケール変換、スケーリング理論)後は '付きで表す r '(t') = α r (t), t' = βt とすると r '(t') = α r (t) = α r (β -1 t') ▼ 速度と加速度のスケール変換 v '(t') = (d/dt') r '(t') = (d/dβt)α r (t) = (α/β)(d/dt) r (t) a '(t') = (d 2 /dt' 2 ) r '(t') = (d 2 /(dβt) 2 )α r (t) = (α/β 2 )(d 2 /dt 2 ) r (t) よって v '(t') = (α/β) v (t) a '(t') = (α/β 2 ) a (t) ここで β = α k と置くと α/β = αα -k = α 1-k α/β 2 = αα -2k = α 1-2k よって r '(t') = α r (t) = α r (α -k t'), t' = α k t v '(t') = α 1-k v (t) a '(t') = α 1-2k a (t) ▼ 万有引力の不変性を保ったスケール変換 G:重力定数 M:質量大 m:質量小 F :万有引力ベクトル 位置ベクトルの単位ベクトルを e = r / | r |と置くと F = (GMm /| r | 2 ) e = GMm r /| r | 3 F = | F | = √( F ･ F ) = GMm√{( r ･ r ) /| r | 6 } = GMm√(| r | 2 /| r | 6 ) = GMm/r 2 a '(t') = F /m = GM r '(t')/| r '(t') ...
