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2024/ 7 / 27 ( 土 ) 懸垂線 (4回目)   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 ) ( 紐の左端を原点とする ) (両端が同じ高さの場合のHを求める)   ■ 前提 ▼   定義 g:重力加速度(m/s 2 ) ρ:紐の密度(kg/m) H:水平張力(N) y(x):懸垂線(カテナリー) y '(x):懸垂線の傾き L: 紐の長さ ( m) x 1 : 紐の右端の x座標 y 1 : 紐の右端の y座標 x 0 :紐の底のx座標   ▼   懸垂線 f (x) λ  = ρ g/ H,   H  = T (x)cos θ (x) = const. y (x) = (1/λ) { cosh(λx - λx 0 ) - cosh(λx 1 - λx 0 ) }   + y 1     ▼   関係式 y '(x) = sinh(λx - λx 0 ) L  = (1/ λ ){sin h(λx 1 - λx 0 )  + sin h(λx 0 ) } y 1  = (1/ λ ){ cosh(λx 1 - λx 0 )  - cosh(λx 0 ) }   ■ 導出 ▼   両端が同じ高さの場合の式 λ  = ρ g/ H,   H  = T (x)cos θ (x) = const.   x 0  = x 1 /2, y 1  = 0より y (x) = (1/λ) { cosh(λx - λ x 1 /2) - cosh(λ x 1 /2) } y '(x) = sinh(λx - λ x 1 /2) L  = ( 2 / λ )sin h(λ x 1 /2)   ▼   Hについての式 L  = ( 2 / λ )sin h(λ x 1 /2) = ( 2H / ρg )sin h(ρg x 1 / ( 2H ) )   ( 2H / ρg )sin h(ρg x 1 / ( 2H )) - L = 0 sin h(ρg x 1 / ( 2H )) - L ρg /( 2H ) = 0 f(H) = sin h(ρg x 1 / ( 2H )) - L ρg /( 2H ) と置くと f (H) = 0の解を求める事になるが 解析的に解けそうにないので 近似式を考える   ▼   s

2024/7/23(火) N88-BASICで懸垂線 (3回目)   (catenary) 懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線) 両端がある高さで紐の左端が原点   ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/07/catenary-3.html 懸垂線 (3回目) より   ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) ρ:紐の密度(kg/m) H:水平張力(N) y(x):懸垂線(カテナリー) y'(x):懸垂線の傾き L:紐の長さ(m) x 1 :紐の右端のx座標 y 1 :紐の右端のy座標 x 0 :紐の底のx座標   ▼ 懸垂線f(x) λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const. y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx 0 ) - cosh(λx 1 -λx 0 )} + y 1     ▼ 関係式 y'(x) = sinh(λx-λx 0 ) L = (1/λ){sinh(λx 1 -λx 0 ) + sinh(λx 0 )} y 1  = (1/λ){cosh(λx 1 -λx 0 ) - cosh(λx 0 )}     ■ 解説 紐を垂らした時の曲線を描画しました (両端の高さが異なる時も対応)     VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(cate00 3 .bas)は このブログ(以下のリンク)から ダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2024/6/1 9 ( 金 ) 懸垂線 ( 3 回目 )   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 ) ( 紐の左端を原点とする )   ■ 前提 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) ρ:紐の密度(kg/m) H:水平張力(N) y(x):懸垂線(カテナリー) y '(x):懸垂線の傾き ds:x～x+dx間の紐の長さ   ▼ 懸垂線f(x) A, B:積分定数 λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const. y (x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B y '(x) = sinh(λx + A) ds = cosh(λx + A)dx     ■ 導出 ▼ 定義 (x 1  ,y 1 ): 紐の右端の座標 (x 0  ,y 0 ): 紐の底の座標   ▼   積分定数の決定 c osh(t) = {exp(t) + exp(- t )}/2 sinh(t) = {exp(t) - exp(- t )}/2   y (x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B y '(x) = sinh(λx + A)   紐の底は水平なので y '(x 0 ) = sinh(λx 0  + A) = 0 sinh(λx 0  + A) = 0 λx 0  + A  = 0 A = - λx 0     y (x) = (1/λ)cosh(λx - λx 0 ) + B   y (x 1 ) = (1/λ)cosh(λx 1   - λx 0 ) + B  = y 1   B = y 1  - (1/λ)cosh(λx 1   - λx 0 )   y (x) = (1/λ) { cosh(λx - λx 0 ) - cosh(λx 1   - λx 0 ) }   + y 1   y '(x) = sinh(λx - λx 0 )   y(0) = 0 より y ( 0 ) = (1/λ) { cosh(λ･0 - λx 0 ) - cosh(λx 1   - λx 0 ) }   + y 1   = (1/λ) { cosh( - λx 0 ) - cosh(λx 1   - λx 0 ) }   + y 1  = 0 cosh(λx 1   -

2024/7/15(月) N88-BASICで懸垂線 (2回目)   (catenary) 懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線) 両端が同じ高さで紐の底が原点   ■ 前提 ▼ 参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/07/catenary-2.html 懸垂線 (2回目) より   ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) ρ:紐の密度(kg/m) H:水平張力(N) L:紐の長さ(m) x 1 :原点から両端までの水平距離 y(x):懸垂線(カテナリー) y'(x):懸垂線の傾き   ▼ 懸垂線f(x) λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const. y(x) = (1/λ){cosh(λx) – 1} y'(x) = sinh(λx) L = (2/λ)sinh(λx 1 )     ■ 解説 紐を垂らした時の曲線を描画しました     VL,NL,XL-BASICとdlg～.zip(cate00 2 .bas)は このブログ(以下のリンク)から ダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2024/ 6 /11 (木 ) 懸垂線 ( 2 回目 )   ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 ) ( 紐の底を原点、両端の高さを同じにする )   ■ 前提 ▼ 定義 g:重力加速度(m/s 2 ) ρ:紐の密度(kg/m) H:水平張力(N) f(x):懸垂線(カテナリー) f'(x):懸垂線の傾き ds:x～x+dx間の紐の長さ   ▼ 懸垂線f(x) A, B:積分定数 λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const. y(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B y '(x) = sinh(λx + A) ds = cosh(λx + A)dx     ■ 導出 ▼   積分定数の決定 c osh(t) = {exp(t) + exp(- t )}/2 sinh(t) = {exp(t) - exp(- t )}/2   y (x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B y '(x) = sinh(λx + A)   x  = 0 (y軸 ) を対称軸として紐の底は水平なので y ' (0) = 0 より y '( 0 ) = sinh(λ･ 0  + A)  = 0 A  = 0 f(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B = (1/λ)cosh(λx) + B y '(x) = sinh(λx + A) = sinh(λx)   原点を紐の底にするので f (0) = 0 より f( 0 ) = (1/λ)cosh(λ･0) + B  = 0 (1/λ) + B  = 0 B  = - 1/λ f(x) = (1/λ)cosh(λx) + B = (1/λ)cosh(λx) - 1/λ = (1/λ) { cosh(λx) - 1 }   ▼   紐の長さ L x = -x 1   ～ x 1   として ds = cosh(λx + A)dx　= cosh(λx)dx   L = ∫ -x 1 x 1 ds = 2 ∫ 0 x 1 cos h( λx ) dx = ( 2 /λ)[sinh(λx)] 0 x 1  = = ( 2 /λ)sinh(λx 1 )     ■ 結果 ▼   定義 g : 重