2025/3/31(月) 四平方の定理 (2回目) (De Gua's theorem) ■ 任意の形の四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理) A 2 + B 2 + C 2 = D 2 この式は任意の形の DをA,B,C面に投影しても成り立つ 図の三角錐の面の直角三角形の面積をそれぞれ A,B,C、 手前の面の三角形の面積を Dとする (x, y, zは座標軸とする) ■ 任意の形の四平方の定理の導出 A,B,C,Dの法線ベクトル(単位ベクトル)をそれぞれ a,b,c,dとするとa,b,cは a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1) となり dは d = (x, y, z) … (x 2 + y 2 + x 2 = d・d = |d| 2 = 1) と置く x軸の真上からDを見てAの面に投影すると 直角三角形 Aに見えるので A = D(a・d)となる … (a・dは内積でa//dなら1, a⊥dなら0) B,Cも同様にy軸,z軸の真上から見てDを投影すると B = D(b・d) C = D(c・d) (a・d) = (1, 0, 0)・(x, y, z) = 1・x + 0・y + 0・z = x (b・d) = (0, 1, 0)・(x, y, z) = 0・x + 1・y + 0・z = y (c・d) = (0, 0, 1)・(x, y, z) = 0・x + 0・y + 1・z = z より A = Dx, B = Dy, C = Dx A 2 + B 2 + C 2 = D 2 x 2 + D 2 y 2 + D 2 x 2 = D 2 (x 2 + y 2 + x 2 ) = D 2 … (上記よりx 2 + y 2 + x 2 = 1) A 2 + B 2 + C 2 ...