投稿

ラベル（数学）が付いた投稿を表示しています

積分の公式 (3回目)

202 5 / 10/25 (土 ) 積分の公式   ( 3 回目 )   ( integral )   ■   公式 ▼ 三角関数 sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x-sin 2 x = (1-sin 2 x)-sin 2 x = 1-2sin 2 x = cos 2 x-(1-cos 2 x) = 2cos 2 x-1 1-cosx = 2sin 2 (x/2) 1+cosx = 2cos 2 (x/2)   ▼ 双曲線関数 sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}   ▼ 逆双曲線関数 y = tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)} exp(2x)-1 = yexp(2x)+y exp(2x)(1-y) = y+1 exp(2x) = (1+y)/(1-y) 2x = log|(1+y)/(1-y)| tanh -1 (y) = (1/2)log|(1+y)/(1-y)|     ■   微分 ▼ 逆双曲線関数の微分 2{tanh -1 (x)}' = {log|(1+x)/(1-x)|}' = {(1+x)/(1-x)}'{(1-x)/(1+x)} = [(1+x)'{1/(1-x)}+{(1+x){1/(1-x)}']{(1-x)/(1+x)} = [{1/(1-x)}+{(1+x)(-1){-1/(1-x) 2 }]{(1-x)/(1+x)} = [{1/(1-x)}+{(1+x)/(1-x) 2 }]{(1-x)/(1+x)} = {1+(1+x)/(1-x)}/(1+x) = {(1-x)+(1+x)}/{(1-x)(1+x)} = 2/(1-x 2 ) {tanh -1 (x)}' = 1/(1-x 2 )   ▼ 逆双曲線関数の微分の応用 {tanh -1 (sinx)}' = (sinx)'{1/(1-sin 2 x)} = cosx(1/cos 2 x) = 1/cosx   {tanh -1 (c...
続きを読む

積分の公式 (2回目)

202 5 / 10/20 ( 月 ) 積分の公式   ( 2 回目 )   ( integral )   ■   積分 (応用) ▼ 三角関数 f(θ) = cosθ + isinθ f'(θ) = -sinθ + icosθ if'(θ) = -isinθ - cosθ = -f(θ) f(θ) = -if'(θ)  … ① f(θ) = exp(iθ)と置くと f'(θ) = iexp(iθ) i f'(θ) = -exp(iθ) = -f(θ) f(θ) = -if'(θ) で式 ①を満たす   exp(iθ)  = cosθ + isinθ exp(-iθ) = cosθ - isinθ sinθ = {exp( i θ ) -  exp(- i θ )} /(2i) cosθ = {exp( i θ ) +  exp(- i θ )} /2 tanθ = {exp( i θ ) -  exp(- i θ )} / {exp( i θ ) +  exp(- i θ )} i   ▼ 双曲線関数 sinhθ = {exp( θ ) -  exp(- θ )} /2 coshθ = {exp( θ ) +  exp(- θ )} /2 tanhθ = {exp( θ ) -  exp(- θ )} / {exp( θ ) +  exp(- θ )}   ▼ 混合 isin(iθ) = {exp( - θ ) - exp( θ )} /2 = - sinhθ   cos(iθ) = {exp( - θ ) + exp( θ )} /2 =  cos hθ itan(iθ) = {exp( - θ ) - exp( θ )} / {exp( - θ ) + exp( θ )}   = -tanhθ   ▼ 双曲線関数 y = tanhθ = -itan(iθ) iy = tan(iθ) iθ = tan -1 (iy) θ = -itan -1 (iy) = tanh -1 y   ▼ √(r 2   + x 2 ) ∫√(r 2 ...
続きを読む

積分の公式 (1回目)

202 5 /10 /15 (水 ) 積分の公式   (1回目)   ( integral )   ■   積分 (公式) ▼   三角関数の公式 (sinθ)' =  cosθ (cosθ)' = -sinθ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos 2 α - sin 2 α = cos 2 α - (1 - cos 2 α) = 2cos 2 α - 1 = (1 - sin 2 α) - sin 2 α = 2sin 2 α + 1   ▼   導出 f(x) = √(r 2   - j 2 x 2 )   x =(r/j)sinθと置く dx/dθ = (r/j)cosθ, dx = (r/j)cosθdθ   θ = sin -1 (jx/r) sinθ = jx/r, cosθ = √(1 - sin 2 θ) = √(1 - j 2 x 2 /r 2 ) tanθ = (jx/r)/√(1 - j 2 x 2 /r 2 ) = jx/√(r 2   - j 2 x 2 ) θ = tan -1 {jx/√(r 2   - j 2 x 2 )}   F 1   = ∫f(x)dx = ∫√(r 2   - j 2 x 2 )dx = ∫√(r 2   - j 2 (r/j) 2 sin 2 θ)(r/j)cosθdθ = (r/j)∫√{r 2 (1 - sin 2 θ)}cosθdθ = (r/j)∫r√(cos 2 θ)cosθdθ = (r 2 /j)∫cos 2 θdθ = (r 2 /j)(1/2)∫( cos2 θ + 1) dθ = (r 2 /j)(1/2){(1/2)sin2θ + θ} + C = (r 2 /j)(1/2){(1/2)2(sinθcosθ) + θ} + C = j(r 2 /j 2 )(1/2){sinθ√(1 - sin 2 θ) + θ} + C = j(1/2){(...
続きを読む