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2025/3/31(月) 四平方の定理 (2回目)   (De Gua's theorem)   ■ 任意の形の四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理) A 2   + B 2   + C 2   = D 2   この式は任意の形の DをA,B,C面に投影しても成り立つ   図の三角錐の面の直角三角形の面積をそれぞれ A,B,C、 手前の面の三角形の面積を Dとする (x, y, zは座標軸とする)   ■ 任意の形の四平方の定理の導出 A,B,C,Dの法線ベクトル(単位ベクトル)をそれぞれ a,b,c,dとするとa,b,cは a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1) となり dは d = (x, y, z)  … (x 2   + y 2   + x 2   = d･d = |d| 2   = 1) と置く   x軸の真上からDを見てAの面に投影すると 直角三角形 Aに見えるので A = D(a･d)となる … (a･dは内積でa//dなら1, a⊥dなら0) B,Cも同様にy軸,z軸の真上から見てDを投影すると B = D(b･d) C = D(c･d) (a･d) = (1, 0, 0)･(x, y, z) = 1･x + 0･y + 0･z = x (b･d) = (0, 1, 0)･(x, y, z) = 0･x + 1･y + 0･z = y (c･d) = (0, 0, 1)･(x, y, z) = 0･x + 0･y + 1･z = z より A = Dx, B = Dy, C = Dx A 2   + B 2   + C 2   = D 2 x 2   + D 2 y 2   + D 2 x 2   = D 2 (x 2   + y 2   + x 2 ) = D 2    … (上記よりx 2   + y 2   + x 2   = 1)   A 2   + B 2   + C 2  ...

2025/3/28(金) 四平方の定理 (1回目)   (De Gua's theorem)   ■ 四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理) A 2   + B 2   + C 2   = D 2   A = ab/2  … △abdの面積 B = bc/2  … △bceの面積 C = ca/2  … △cafの面積 D         … △defの面積 とする   ■ 四平方の定理の導出 d 2   = a 2   + b 2   e 2   = b 2   + c 2   f 2   = c 2   + a 2   θ=∠de  … 二辺間の角度とする 余弦定理より f 2   = d 2   + e 2   - 2decosθ cosθ = (d 2   + e 2   - f 2 )/(2de) sinθ = √{1 - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 /(2de) 2 } = √{(2de) 2   - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 }/(2de)   D = (1/2)desinθ = (1/2)de√{(2de) 2   - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 }/(2de) = √{(2de) 2   - (d 2   + e 2   - f 2 ) 2 }/4   d 2   + e 2   - f 2   = a 2   + b 2   + b 2   + c 2   - c 2   - a 2   = 2b 2   d 2 e 2   = (a 2   + b 2 )(b 2   + c 2 ) ...

2025/3/14(金) フーリエ変換 ( 6 回目 )   (fourier   t ransform )   ■ 離散フーリエ変換(DFT)( Discrete Fourier Transform ) ▼ 結果 T:サンプル計測時間 N:サンプル総数 t k :サンプルの計測時刻( k   = 0, 1, 2, …, N-1) , t k   =   k( T/N ) y k :各サンプルの計測値( k   = 0, 1, 2, …, N-1)   周波数 f n   = n /T ( n   = 1 , …, N)   y(t k ) = 2 Σ n = 0 N {A ( f n )exp(i 2πf n t k ) } A(f n ) = (2 /N ) Σ k = 0 N-1 { y k e xp(-i 2πf n t k ) }   A = |A(f n )|  … |exp(-ix)| =  √{cos 2 x + sin 2 x)}   ▼ 式 フーリエ変換 (FT) y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数 y(t) = ∫ -∞ ∞ {A ( f )e i2πft } d f A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt   T:サンプル計測時間 N:サンプル総数 t k :各サンプルの計測時刻( k   = 0, 1, 2, …, N-1) y k :各サンプルの計測値　( k   = 0, 1, 2, …, N-1)   y(t k ) = y k   , Δt = T/N   , t k   = k Δt = k( T/N )   Δ f = 1/T 周波数 f n   = n Δ f = n/T ( n   = 1, …, N)   A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt = 2 ∫ 0 ∞ {y(t)e -i2πft } dt   + 2･0  … y(t)偶関数+奇関数 A(f n ) = 2 Σ k = 0...

2025/3/4(火) フーリエ変換 ( 5 回目 )   (fourier   t ransform )   ■ フーリエ変換(FT)( F ourier   T ransform ) (周期が∞のフーリエ級数) ▼ 結果 y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数 y(t) = ∫ -∞ ∞ {A ( f )e i2πft } d f A(f) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e -i2πft } dt   ▼ 式 複素フーリエ級数 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 0, ± 1, ± 2, …, ± N → ± ∞) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πf n t ) } c n   = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt   周期 T→∞とする ので、 F = 1/T (F→0)とする 周波数 f = f n   = n/T = nF, T = 1/F = n/fと置いて c n   = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt = F ∫ 0 1/F {y(t)e xp(-i2πft )}dt = F ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft )}dt A(f) = ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft )}dt と置く c n   = FA(f)   y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πft ) } = Σ n=- N N {FA(f n ) e xp(i2πft ) } ( F →0)は面積を表すので = ∫ - N N { A( f n )e xp(i2πft ) } d f (N→∞) A(f) = ∫ -1/(2F) 1/(2F) {y(t)e xp(-i2πft ) } dt   (F→0) = ∫ -∞ ∞ {y(t)e xp(-i2πft ) } dt  

2025/3/1(土) フーリエ変換 ( 4 回目 )   (fourier)   ■ 複素フーリエ級数 ▼ 結果 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 0, ± 1, ± 2, …, ± N → ± ∞) y(t) = Σ n=- N N { c n e xp(i2πf n t ) } c n   = (1/T)∫ 0 T {y(t)e xp(-i2πf n t )}dt   ▼ 式 周期 Tのフーリエ級数 (周期T , 周波数 f n   = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞) y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} a n   = (2/T)∫ 0 T y(t)cos(2π f n t )dt b n   = (2/T)∫ 0 T y(t)sin(2π f n t )dt   e ix   = cosx + isinx e -ix   = cosx - isinx cosx = (e ix   + e -ix )/2 sinx = (e ix   - e -ix )/(2i)   y(t) = (a 0 /2) + Σ n=1 N {a n cos(2π f n t ) + b n sin(2π f n t )} = (a 0 /2)   + Σ n=1 N [ a n { e xp( i2π f n t)   + e xp(- i2π f n t)} /2 +   b n { e xp( i2π f n t)   -   e xp(- i2π f n t)} /(2i) ] = (a 0 /2)   + Σ n=1 N [ a n { e xp( i2π f n t)   + e xp(- i2π f n t)} /2 - i b n { e xp( i2π f n t)   -   e xp(- i2π f n t)} /2 ] = (a 0 /2)   + Σ n=1 N [( a n ...