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2023/7/26(水) ポアソン方程式 (2回目)   (Poisson's equation)   重力場のポアソン方程式の導出   ■ 定義 ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ラプラシアン∇･∇ = ∇ 2  = Δ grad f = ∇f , div E  = ∇･ E  , rot E  = ∇× E     ρ   :質量密度(総量M:質量) G   :重力定数 φ   :重力ポテンシャル g     :重力場 r   :原点からの距離(r = | r |)   d S  = n ･dS … ( n :面Sの法線ベクトル) Sは体積Vの表面積(∂V)とする     ■ 導出 ▼ 重力場 g とポテンシャルφの関係 力 F  = m g  = -(GMm/r 2 )( r /r)  … 引力 g  = -(GM/r 2 )( r /r) | g | = GM/r 2   なので φ = -∫ g ･d r  = -∫-| g |dr = GM∫r -2 dr φ = -GM/r 微分で表すと g  = -gradφ = -∇φ   ▼ div g の導出 g  = -(GM/r 2 )( r /r) | g | = GM/r 2   ∫ V  ρ dV = M   ∫ S   g ･d S  = ∫ V  div  g  dV  … ガウスの発散定理 体積Vの表面Sを通り外へ湧出す量と 体積V内から外へ湧出す量は同じ g に垂直な面に換算された面積は4πr 2   より   ∫ S   g ･d S  = - 4πr 2 | g | = -(4πr 2 )(GM/r 2 ) = -4πGM = -4πG∫ V  ρ dV = ∫ V  div  g  dV  つまり ∫ V  div  g  dV = -4πG∫ V  ρ dV より div  g  = -4πGρ   ▼ ポアソン方程式の導出 g  = -gradφ = -∇φ div  g  = -4πGρ より div  g  = ∇･ g  = -∇･∇φ = -∇ 2 φ = -4πGρ よって ∇ 2 φ = 4πGρ   ▼ 地球の重力とポテンシャルエネルギー M e :地球の質量 R e :地球の半径 h   :地球表面からの高さ(|h| << |R e

2023/7/24(月) ポアソン方程式 (1回目)   (Poisson's equation)   電場のポアソン方程式の導出   ■ 定義 ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ラプラシアン∇･∇ = ∇ 2  = Δ grad f = ∇f , div E  = ∇･ E  , rot E  = ∇× E     ρ   :電荷密度(総量Q:電荷) ε 0 :真空中の誘電率 φ   :静電ポテンシャル E     :電場 r   :原点からの距離(r = | r |)   d S  = n ･dS … ( n :面Sの法線ベクトル) Sは体積Vの表面積(∂V)とする     ■ 導出 ▼ 電場 E とポテンシャルφの関係 力 F  = q E  = {1/(4πε 0 )}(Qq/r 2 )( r /r)  … 斥力 E  = {1/(4πε 0 )}(Q/r 2 )( r /r) | E | = {1/(4πε 0 )}(Q/r 2 ) なので φ = -∫ E ･d r  = -∫| E |dr = -{1/(4πε 0 )}Q∫r -2 dr φ = {1/(4πε 0 )}(Q/r) 微分で表すと E  = -gradφ = -∇φ   ▼ ガウスの法則の導出 E  = {1/(4πε 0 )}(Q/r 2 )( r /r) | E | = {1/(4πε 0 )}(Q/r 2 ) ∫ V  ρ dV = Q   ∫ S   E ･d S  = ∫ V  div E  dV  … ガウスの発散定理 体積Vの表面Sを通り外へ湧出す量と 体積V内から外へ湧出す量は同じ E に垂直な面に換算された面積は4πr 2   より   ∫ S   E ･d S  = 4πr 2 | E | = (4πr 2 ){1/(4πε 0 )}(Q/r 2 ) = Q/ε 0  = (1/ε 0 )∫ V  ρ dV = ∫ V  div E  dV  つまり ∫ V  div E  dV = (1/ε 0 )∫ V  ρ dV より div E  = ρ/ε 0   … ガウスの法則(湧出しの法則)   ▼ ポアソン方程式の導出 E  = -gradφ = -∇φ div E  = ρ/ε 0    より div E  = ∇･ E  = -∇･∇φ 

2023/7/20(木) 相対性理論 (7回目)   一般相対性理論 (General relativity theory)   エネルギー運動量テンソルT μν   (応力テンソル以外)の導出     ■ まえがき 以後 上付添字は反変成分、下付添字は共変成分を表す (共変成分:座標と同じ変換法則で変換される成分) (反変成分:座標と逆の変換法則で変換される成分) (ただし、下付添字x,y,zを除く)   テンソルはスカラー、ベクトル、行列のようなもので 0階のテンソルはスカラーで 1階のテンソルはベクトルで 2階のテンソルは行列で表現できる     ■ エネルギー密度と運動量密度 ε:エネルギー密度 π x :運動量密度 ρ:密度 m:質量 γ:ローレンツ係数   γ = 1/√{1 - (v/c) 2 }   (2回目)より u :四元速度 p :四元運動量 u  = (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) p  = (E/c, p x , p x , p x ) = mc(u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = mc(γ, γv x /c, γv y /c, γv z /c) = (γmc, γmv x , γmv y , γmv z ) より   m ∝ γρ … ローレンツ収縮による密度の影響 E = γmc 2  より ε = γ 2 ρc 2  = u 0 u 0 ρc 2  … (u 0  = γ)   p x  = γmv x  より π x  = γ 2 ρv x  = u 0 u 1 ρc … (cu 1  = γv x ) cπ x  = u 0 u 1 ρc 2         ■ エネルギー運動量テンソルの定義 2階の反変テンソル エネルギー運動量テンソルを T μν  = ρc 2   |u 0 u 0  u 0 u 1  u 0 u 2  u 0 u 3 | |u 1 u 0  u 1 u 1  u 1 u 2  u 1 u 3 | |u 2 u 0  u 2 u 1  u 2 u 2  u 2 u 3 | |u 3 u 0  u 3 u 1  u 3 u 2  u 3 u 3 | と定義すると   T μν  = |ε　　cπ x 　　cπ y 　　cπ z 　| |cπ x  ρc 2 u 1 u 1  ρ

2023/7/18(火) 相対性理論 (6回目)   一般相対性理論 (General relativity theory)   測地線の方程式のニュートン近似を求める   ■ 定義 ▼ クリストッフェル記号 Γ k ij  = g ka Γ aij   = (∂ 2 X' m /∂X i ∂X j )(∂X k /∂X' m ) = (1/2)g ka {(∂g ja /∂X i )+(∂g ai /∂X j )-(∂g ij /∂X a )} 導出は htt クリストッフェル記号 (4回目)   Γ k ij  = g ka Γ aij   = (∂ 2 X' m /∂X i ∂X j )(∂X k /∂X' m ) = (1/2)g ka {(∂g ja /∂X i )+(∂g ai /∂X j )-(∂g ij /∂X a )}   ▼ 測地線の方程式 x' α :局所慣性系座標 x α :一般慣性系座標  (d 2 x γ /dτ 2 ) + Γ γ αβ (dx α /dτ)(dx β /dτ) = 0 右辺は外力   加速度 (d 2 x γ /dτ 2 ) = -Γ γ αβ (dx α /dτ)(dx β /dτ) 右辺は重力を意味する     ■ 導出 ▼ 測地線の方程式の変形 x α :位置 u α :四元速度(dx α /dτ) p α :四元運動量(mcu α ) 詳しくは (2回目)   加速度 (d 2 x γ /dτ 2 ) = -Γ γ αβ (dx α /dτ)(dx β /dτ) = (du γ /dτ) = -Γ γ αβ u α u β   力(加速度にmcを掛けたもの) (dp γ /dτ) = {-1/(mc)}Γ γ αβ p α p β     τ:固有時(不変量) ds:微小不変量 dτ 2  = -g αβ dx α dx β  = ds 2     ▼ ニュートン近似(速度) ニュートン近似では 空間方向の移動<<時間方向の移動(光の速さ) なのでg 00 以外は微小とする dτ ≒ √(-g 00 )dx 0  = √(-g 00 )cdt   力 (dp γ /dτ) = {-1/(mc)}Γ γ αβ p α p β   (√(-g 00 )cdp γ

2023/7/17(月) 相対性理論 (5回目)   一般相対性理論 (General relativity theory)   測地線の方程式の導出   ■ 導出 ▼ 測地線の方程式 x' α :局所慣性系座標 x α :一般慣性系座標   F α  = d 2 x' α /dτ 2   力F α  = 0なら d 2 x' α /dτ 2  = 0 dx' α /dτ = const. (一定) より dx' α /dτ = x' α /τ = const.   x' α  = (∂x' α /∂x' β )x' β  … 反変変換 x' α /τ = (∂x' α /∂x' β )(x' β /τ)   d 2 x' α /dτ 2  = (d/dτ)(x' α /τ) = 0 = (d/dτ){(∂x' α /∂x' β )(x' β /τ)} = {(d/dτ)(∂x' α /∂x' β )}(x' β /τ) + (∂x' α /∂x' β ){(d/dτ)(x' β /τ)} = {(d/dτ)(∂X' α /∂X' β )}(X' β /τ) = {(∂/∂x' β )(dx' α /dτ)}(dx' β /dτ) … 局所慣性系x' α のすべてが微分表記に なっているため一般座標系X α に置き換えても 問題ない {(∂/∂x' β )(dx' α /dτ)}(dx' β /dτ) = {(∂/∂x β )(dx α /dτ)}(dx β /dτ) = 0   ∇ β V  = (∂/∂x β ) V  = {(∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ } e α     導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-1.html クリストッフェル記号 (1回目) より ∇ β V α  = (∂/∂x β )V α  = (∂/∂x β )V α  + V γ Γ α γβ     {(∂

2023/7/16(日) 相対性理論 (4回目)   (Relativity theory) アインシュタインの縮約について   ■ 縮約について ▼ 直交座標系の計量(metric) η αβ  = diag(-1,1,1,1) = |-1 0 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 0 1 | つまり η 00  = -1、η 11  = η 22  = η 33  = 1 以外0です   ベクトルは太字で表しています 添字(suffix)は上付きと下付きがあり乗数ではない   e α :基底ベクトル(共変ベクトルなので下付き) x α :通常ベクトル(反変ベクトルなので上付き)   ベクトル x  = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) ベクトル x  = x α e α  と書ける この場合 x α e α  = Σ[α=0,1,2,3]x α e α  という意味になり = x 0 e 0 +x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3  となる (Σを省略する事をアインシュタインの縮約という)   3次元空間ならベクトルd x の微小長さdsは ds 2  = d x ･d x  = (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2   は ds 2  = (dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2  = dx α dx α   と書ける   相対性理論 (1回目)より 時間軸の2乗は負になる為 4次元時空間なら ds 2  = d x ･d x  = -(dx 0 ) 2 +(dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2   s 2  = η αβ dx α dx β  = η αα dx α dx α   η αβ  の中身が対角成分しかない場合 η αα  で代用できる (上付きと下付きは打消し合う)   ▼ 一般座標系の計量(metric) https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html 極座標 (4回目)   極座標系など基底ベクトルの 長さが1(単位ベクトル)ではない場合 計量テンソルを使って g αβ  = diag(1, 1/r 2 , 1/(r 2 sin 2 θ))   |1