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2026/7/9(木)   懸垂線 (catenary、 カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 )   ■ 内容 紐の 左端 (0, 0)と右端(x 1 , y 1 ) を固定して垂らす 重力加速度 g[ m/s 2 ] 紐の線密度 ρ [kg/m] 紐の長さ L[ m ] (0 < x 1 2 +y 1 2 < L 2 ) 以上 が分かっている 紐の高さ y(x)[m] を求める   ■ pdfへのリンク 懸垂線(pdf)   ■ 関連記事へのリンク 懸垂線 (改訂版) (1回目) 懸垂線 (改訂版) (2回目) 懸垂線 (改訂版) (3回目) 懸垂線 (改訂版) (4回目) 懸垂線 (改訂版) (5回目) 懸垂線 (改訂版) (6回目) 懸垂線 (改訂版) (7回目) 懸垂線 (改訂版) (8回目)

2026/7 /4 (土 )   同位体の存在比 (2回目)   ■ 同位体による分子の存在比 ▼ 同位体A,Bから2原子分子をつくる Aの存在比 x Bの存在比 y x + y = 1  … (%ではなく割合とする) とすると 1 = (x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2   となり AA … x 2   AB … 2xy  … [AB,BAの2パターン分] BB … y 2   の割合になる   ▼ 同位体A,Bから3原子分子をつくる Aの存在比 x Bの存在比 y x + y = 1 とすると 1 = (x+y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3   となり AAA … x 3   AAB … 3x 2 y  … [AAB,ABA,BAAの3パターン分] ABB … 3xy 2    … [ABB,BAB,BBAの3パターン分] BBB … y 3   の割合になる   ▼ 同位体A,B,Cから2原子分子をつくる Aの存在比 x Bの存在比 y Cの存在比 z x + y + z = 1 とすると 1 = (x+y+z) 2 = x 2 + 2xy + 2xz + y 2 + 2yz + z 2   となり AA … x 2   AB … 2xy  … [AB,BAの2パターン分] AC … 2xz  … [AC,CAの2パターン分] BB … y 2   BC … 2yz  … [BC,CBの2パターン分] CC … z 2   BBB … y 3   の割合になる   ▼ m個の同位体A i から n原子分子をつくる A i の存在比 p i (i=1,2,…,m) p 1 + p 2 + … + p m = 1 1 = (p 1 + p 2 + … + p m ) n   を展開 という形になっていそう  

2026/ 6 / 27(土 )   同位体の存在比 (1回目)   ■ 同位体による分子の存在比 ▼ 塩素の思考実験A 塩素原子の同位体を 35 Cl 75% , 37 Cl 25% と仮定 (近似)する この元素でできる塩素 Cl 2 の存在比を考える   35 Cl - 35 Cl  … (75/100)×(75/100) = 5625/10000 ⇒ 56.25% 35 Cl - 37 Cl  … (75/100)×(25/100) = 1875/10000 ⇒ 18.75% 37 Cl - 35 Cl  … (25/100)×(75/100) = 1875/10000 ⇒ 18.75% 37 Cl - 37 Cl  … (25/100)×(25/100) =  625/10000 ⇒  6.25%   真ん中の 2つは同じもの(区別できないので)1つにまとめると   35 Cl - 35 Cl  … (75/100)×(75/100)    = 5625/10000 ⇒ 56.25% 35 Cl - 37 Cl  … (75/100)×(25/100)×2 = 3750/10000 ⇒ 37.50% 37 Cl - 37 Cl  … (25/100)×(25/100)    =  625/10000 ⇒  6.25%   となる 2枚の コインの確率で例えるなら 表表 … 1/4 表裏 … 1/4 裏表 … 1/4 裏裏 … 1/4 となり 2枚を区別しなければ 表表 … 1/4 表裏 … 2/4 = 1/2 裏裏 … 1/4 となる   ▼ 間違った思考実験B 塩素原子の同位体を 35 Cl 75% , 37 Cl 25% と仮定 (近似)する この元素でできる塩素 Cl 2 の存在比を考える 35 Cl - 37 Cl と 37 Cl - 35 Cl は区別できないので一方のみ考える   35 Cl - 35 Cl  … (75/100)×(75/100) = 5625/1000...

2026/4/11(土) スケール変換 (2回目)     ■ 前回 ▼ 定義 t   :時間 r (t):位置ベクトル v (t):速度ベクトル a (t):加速度ベクトル   ▼ スケール変換 r '(t') = α r (t) = α r (α -k t') , t' = α k t v '(t') = α 1-k v (t) a '(t') = α 1-2k a (t)   ▼ 万有引力 G:重力定数 M:質量大 m:質量小 F :万有引力ベクトル F   = GMm r /| r | 3   r '(t') = α r (t), t' = α 3/2 t v '(t') = α -1/2 v (t) a '(t') = α -2 a (t) 距離を α倍すると、時間はα 3/2 倍、速度は α -1/2 倍 加速度は α -2 倍になる   ▼ 地上での重力 g :重力加速度ベクトル m:質量 F :力ベクトル F   = m g   r '(t') = α r (t), t' = α 1/2 t v '(t') = α 1/2 v (t) a '(t') = α 0 a (t) 距離を α倍すると、時間はα 1/2 倍、速度は α 1/2 倍 加速度は α 0 倍になる     ■ 疑問 ▼ 問題 万有引力 (宇宙)と重力(地上)の違い 軌道長半径 a(距離)を2倍すると周期T(時間)は2√2倍 高さ h(距離)を2倍すると落下時間t(時間)は√2倍 同じ物理法則下で距離を 2倍した時の時間のスケールが 2倍も異なるのはなぜか?   ▼ 考察 万有引力は距離の 2乗に反比例するので 距離が離れると速度は遅くなり時間もよりかかる 地上での重力は距離に関係なく一定としているので 距離が離れても速度に影響なく時間もそれほど伸びない   地球の半径を R、地上からの高さをhとすると (R+h)/R ⋍ 1なので hを2倍にしても万有引力のときの距離は2倍より小さく 更に重力を距離に関係なく一定と近似している 影響と思われる   ▼ おまけ 万有引力から地上の重力へ V( r ):ポテンシ...

2026/4/4(土) スケール変換 (1回目)     ■ スケール変換 ▼ 定義 t   :時間 r (t):位置ベクトル v (t):速度ベクトル a (t):加速度ベクトル   座標軸を α倍に時間軸をβ倍に 座標変換 (スケール変換、スケーリング理論)後は '付きで表す   r '(t') = α r (t), t' = βt とすると r '(t') = α r (t) = α r (β -1 t')   ▼ 速度と加速度のスケール変換 v '(t') = (d/dt') r '(t') = (d/dβt)α r (t) = (α/β)(d/dt) r (t) a '(t') = (d 2 /dt' 2 ) r '(t') = (d 2 /(dβt) 2 )α r (t) = (α/β 2 )(d 2 /dt 2 ) r (t) よって v '(t') = (α/β) v (t) a '(t') = (α/β 2 ) a (t) ここで β = α k   と置くと α/β = αα -k   = α 1-k   α/β 2   = αα -2k   = α 1-2k   よって r '(t') = α r (t) = α r (α -k t'),  t' = α k t v '(t') = α 1-k v (t) a '(t') = α 1-2k a (t)   ▼ 万有引力の不変性を保ったスケール変換 G:重力定数 M:質量大 m:質量小 F :万有引力ベクトル 位置ベクトルの単位ベクトルを e   = r / | r |と置くと F   = (GMm /| r | 2 ) e   = GMm r /| r | 3   F = | F | = √( F ･ F ) = GMm√{( r ･ r ) /| r | 6 } = GMm√(| r | 2 /| r | 6 ) = GMm/r 2     a '(t') = F /m = GM r '(t')/| r '(t') ...