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2023/8/26(土) N88-BASICでシュワルツシルト半径 (3回目)   (Schwarzschild radius)   時間の進み方と半径rのグラフ   ■ 定義 G   :重力定数 M   :天体の質量 c   :光の速度 r g :シュワルツシルト半径   ■ 導出 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/schwarzschild-4.html シュワルツシルト半径 (4回目) より   ds 2  = -(1-r g /r)(cdt) 2  + 1/(1-r g /r)dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2   r g  = 2GM/c 2     時間だけを考えるので dr = dθ = dφ = 0と置いて ds 2  = -(1-r g /r)(cdt) 2   dτ 2  = -ds 2  = (1-r g /r)(cdt) 2   {dτ/(cdt)} 2  = 1-r g /r r g /r = 1 - {dτ/(cdt)} 2   r = r g /[1 - {dτ/(cdt)} 2 ]   ここで時間の進み方の割合pは p = dτ/(cdt) r = r g /[1 - {dτ/(cdt)} 2 ] = r g /(1 - p 2 ) をpの式にすると 1 - p 2  = r g /r p = √(1 - r g /r)     ■ 余談 地球表面の重力を1Gとすると シュワルツシルト半径の重力は (地球半径 / 地球質量のシュワルツシルト半径) 2  G となり (約6400 km / 約8.9 mm) 2  ≒ (719×10 6 ) 2  = 516961×10 12   ≒ 52×10 16  G = 52京 G   シュワルツシルト半径の100倍の距離でも 重力は1万分の1にしかならず 52兆 G となる?     ■ 結果 p:時間の進み方の割合(p = 0.5なら半分の速さで進む) p = dτ/(cdt) = √(1 - r g /r)   を使ってグラフを描画します     惑星などのデータは 理科年表2020年(国立天文台) 参照です     VL,NL,XL-BASICと blg～.zip (schw00 3 .bas)は 以

2023/8/24(木) N88-BASICでシュワルツシルト半径 (2回目)   (Schwarzschild radius)   時間の進み方が割合pとなる半径rを求める   ■ 定義 G   :重力定数 M   :天体の質量 c   :光の速度 r g :シュワルツシルト半径   ■ 導出 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/schwarzschild-4.html シュワルツシルト半径 (4回目) より   ds 2  = -(1-r g /r)(cdt) 2  + 1/(1-r g /r)dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2   r g  = 2GM/c 2     時間だけを考えるので dr = dθ = dφ = 0と置いて ds 2  = -(1-r g /r)(cdt) 2   dτ 2  = -ds 2  = (1-r g /r)(cdt) 2   {dτ/(cdt)} 2  = 1-r g /r r g /r = 1 - {dτ/(cdt)} 2   r = r g /[1 - {dτ/(cdt)} 2 ]   ここで時間の進み方の割合pは p = dτ/(cdt)     ■ 結果 p = dτ/(cdt) r = r g /[1 - {dτ/(cdt)} 2 ] = r g /(1 - p 2 )     ■ 例 p = 1/2の時 r = r g /(1 - p 2 ) = r g /(1 – 1/4) = r g /(3/4) = r g (4/3) などの表示をします     惑星などのデータは 理科年表2020年(国立天文台) 参照です   VL,NL,XL-BASICと blg～.zip (schw00 2 .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2023/8/21(月) N88-BASICでシュワルツシルト半径 (1回目)   (Schwarzschild radius)   ■ 定義 G   :重力定数 M   :天体の質量 c   :光の速度 r g :シュワルツシルト半径   ■ 結果 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/08/schwarzschild-3.html シュワルツシルト半径 (3回目) より   r g  = 2GM/c 2   を使って 光が円運動する(抜け出せなくなる)半径 シュワルツシルト半径 を計算します   惑星などのデータは 理科年表2020年(国立天文台) 参照です   VL,NL,XL-BASICと blg～.zip (schw001.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい  

2023/8/19(土) シュワルツシルト半径 (4回目)   (Schwarzschild radius)   シュワルツシルト半径r g の考察   ■ シュワルツシルト半径r g の考察 ▼ dsからr g を考える ds 2  = -(1-r g /r)(cdt) 2  + 1/(1-r g /r)dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2   r g  = 2GM/c 2   (1-r g /r) → +0, 1/(1-r g /r) → +∞ (r → +r g ) となっている rが中心に向かってr g に近づくと時間が遅れ 動径方向の距離が伸びる r ≦ r g  では∞や負になり意味が分からなくなるので この式からr g  が何を意味するのか良く分からない   ▼ dsの式変形からr g を考える dθ = 0, dφ = 0, ds = 0と置くと cdtとdrの関係式が出来る ds 2  = -(1-r g /r)(cdt) 2  + 1/(1-r g /r)dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2   0 = -(1-r g /r)(cdt) 2  + 1/(1-r g /r)dr 2   1/(1-r g /r)dr 2  = (1-r g /r)(cdt) 2   dr 2 /dt 2  = c 2 (1-r g /r) 2   dr/dt = ±c(1-r g /r) 光は距離rで通過するときr > r g なら離れていくはず なのでdr/dt > 0となり dr/dt = c(1-r g /r) dr/dt > 0 (if r > r g ) dr/dt = 0 (if r = r g ) dr/dt < 0 (if r < r g ) rは重力源の中心からの距離だったので 光がr = r g の場所を通過するときrは時間とともに 変化しない事になり シュワルツシルト半径 r g  = 2GM/c 2   は光が円運動する半径という事になる   ■ ニュートン力学との比較 ▼ ニュートン力学(力) https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/03/centrifugal-1.html 遠心力 (1回目) よ

2023/8/18(金) シュワルツシルト半径 (3回目)   (Schwarzschild radius)   シュワルツシルト半径r g を求める   ■ 導出 ▼ リッチテンソル R 0 0  = R k 0 ,k 0  = e a-b (a"/2 + a' 2 /4 - a'b'/4 + a'/r) = 0 R 11  = R k 1,k1  = -a"/2 + a'b'/4 + b'/r - a' 2 /4 = 0 R 22  = R k 2,k2  = {-1 + (r/2)(b' - a')}e -b  + 1 = 0 R 33  = R k 3,k3  = [{-1 + (r/2)(b' - a')}e -b  + 1]sin 2 θ = 0   ▼ 微小不変量と計量 微小不変量 ds 2  = -e a(r) (r)dw 2  + e b(r) dr 2  + r 2 {dθ 2  + sin 2 θdφ 2 } 計量 g αβ  = diag(-e a(r) , e b(r) , r 2 , r 2 sin 2 θ) g αβ  = diag(-e -a(r) , e -b(r) , 1/r 2 , 1/r 2 sin 2 θ)   ▼ 微小不変量を求める [e a-b  ≠ 0の時] R 00 /e a-b  + R 11  = 0 = a"/2 + a' 2 /4 - a'b'/4 + a'/r) - a"/2 + a'b'/4 + b'/r - a' 2 /4 = (a' + b')/r = 0 [r ≠ 0の時] a' + b' = 0 a' = -b' を R 22  = {-1 + (r/2)(b' - a')}e -b  + 1 = 0 より {1 - (r/2)(b' - a')}e -b  = 1 に代入 (1 - rb')e -b  = 1 e -b  - rb'e -b  = 1 (re -b )' = 1 ∫(re -b )

2023/8/16(水) シュワルツシルト半径 (2回目)   (Schwarzschild radius) リッチテンソルを求める   ■ 導出 ▼ 極座標の計量g 前回より g αβ  = diag(-1, 1, r 2 , r 2 sin 2 θ) ds 2  = -dw 2  + dr 2  + r 2 dθ 2  + r 2 sin 2 θdφ 2     ここで 対象が球対称で時間変化しないとし 球対称な関数e a(r) 、e b(r) を使って(計算の都合上) ds 2  = -e a(r) dw 2  + e b(r) dr 2  + r 2 {dθ 2  + sin 2 θdφ 2 } と置くと計量は g αβ  = diag(-e a(r) , e b(r) , r 2 , r 2 sin 2 θ) g αβ g βγ  = δ α γ  = diag(1, 1, 1, 1)より g αβ  = diag(-e -a(r) , e -b(r) , 1/r 2 , 1/r 2 sin 2 θ) となる   ▼ クリストッフェル記号 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-3.html クリストッフェル記号 (3回目) より Γ k ij   = (1/2)g ka {(∂g ja /∂X i )+(∂g ai /∂X j )-(∂g ij /∂X a )} g ka kは対角成分のみなのでa = kと置いて Γ k ij   = (1/2)g k k {(∂g j k /∂X i )+(∂g k i /∂X j )-(∂g ij /∂X k )} (式を見れば分かる通りi,jは入替えても同じ)   a = a(r) a'= (d/dr)a(r)と書くことにする   g 33 、g 33 はrとθの関数よりi,j,k=1,2 それ以外はrの関数よりi,j,k=1   k = 0の時i,j=0,1 Γ 0 00  = 0 … すべて時間微分のため Γ 0 01  = Γ 0 10   = -(1/2)e -a(r) (∂-e a(r) /∂r) = -(1/2)e -a(r) {-a'(r)e a(r) } = (1/2)a'   k = 1の時i,j≠1なら