懸垂線(改訂版) (3回目)
202 5 / 7 / 26 (土 ) 懸垂線 (改訂版) ( 3 回目 ) ( c atenary) 懸垂線 ( カテナリー、紐を垂らしたときの曲線 ) ■ 前提 ▼ 定義 g : 重力加速度 [ m/s 2 ] ρ :紐の線密度 [kg/m] H :水平張力[N] (紐の頂点での張力) y : 紐の高さ [m] ( 紐の 左端を原点と する xの関数 ) ▼ 微分方程式 λ = H/(ρg) と置く y" = (1/ λ ) √ ( 1 + y' 2 ) ▼ 問題 x 0 : 紐の底の x 座標 [m] (1) y(x) を g,ρ, x 0 , H ,x で表せ ■ (1)yの 導出 2(微分方程式を解く) ▼ 定義 x = log e y = log y、y = e x = exp(x)とする ▼ 積分 ∫{ 1/ √ (1+x 2 )}dx を解く x = tan θと置く d x/d θ = ( d /d θ) tan θ = ( d /d θ) {sin θ /cos θ} = {( d /d θ) sin θ} /cos θ + sin θ {( d /d θ) (cos θ ) -1 } = 1 + sin θ (-sinθ)(-1 /cos 2 θ ) = ( cos 2 θ + sin 2 θ) /cos 2 θ = 1/cos 2 θ d x = (1/cos 2 θ) d θ 1+tan 2 θ = (cos 2 θ + sin 2 θ)/cos 2 θ = 1/cos 2 θ を使って ∫{ 1/ √ (1+x 2 )}dx = ∫{ 1/ √ (1+tan 2 θ )}(1/cos 2 θ) d θ = ∫{ 1/ √ (1/cos 2 θ )}(1/cos 2 θ) d θ = ∫ (cos θ...
