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2023/9/28(木) コリオリ力 (4回目)   (Coriolis force)   自由落下   ■ 前提 ▼ 定義 F  :物体に加える力 F C :コリオリ力(Coriolis force) f C :遠心力(Centrifugal force) T:地球の自転周期[86164.098903691(s)] ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)] G:重力定数[6.67430×10 -11 (Nm 2 /kg 2 )] M:地球質量[5.972×10 24 (kg)] R:地球の半径[6367.5×10 3 (m)北緯45°] g:重力加速度[g = GM/R 2  ≒ 9.83077(m/s 2 )] (北緯45°の標準重力加速度は正確にg n  = 9.80665 m/s 2 ) h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする) φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]   (x, y, z) = (南, 東, 上)とする 原点(x, y, z) = (0, 0, R)   ▼ 運動方程式 m a  = m r ( ･･ )  = F  + F C  + f C   = F  - 2m ω × r ( ･ ) ' - m ω ×( ω × r ') = F  - 2m ω × r ( ･ ) ' + mω 2 { r '- ω ( ω ･ r ')/ω 2 } = F  - 2m ω × v ' + mω 2 r ' ⊥     = (0, 0, -mg) + (mω 2 Rcosφsinφ, 0, mω 2 Rcos 2 φ) + (2mω y ( ･ ) sinφ, -2mω( x ( ･ ) sinφ+ z ( ･ ) cosφ), 2mω y ( ･ ) cosφ)     ■ 導出 ▼ 重力加速度(万有引力と遠心力による加速度) g  = ( F  + F C )/m = (0, 0, -GM/R 2 ) + (ω 2 Rcosφsinφ, 0, ω 2 Rcos 2 φ) ≒ (0, 0, -g n ) (重力加速度gを標準重力加速度g n で近似)   a  = r ( ･･ )  = ( F  + F C  + f C )/m =

2023/9/26(火) コリオリ力 (3回目)   (Coriolis force)   地球表面の運動     ■ 前提 ▼ 定義 静止座標系のz軸まわりに角速度ωで回転している 回転座標系を'付きで表す   F  :物体に加える力 f :向心力(Centripetal force) F C :コリオリ力(Coriolis force) f C :遠心力(Centrifugal force)   ω  = (ω x , ω y , ω z ) = (0, 0, ω) = ω e z ' r ' = x' e x ' + y' e y ' + z' e z ' z'軸に垂直と平行な成分はそれぞれ r ' ⊥  = x' e x ' + y' e y ' r ' //  = z' e z ' = ω ( ω ･ r ')/ω 2     f  = m ω ×( ω × r ') = -mω 2 (x' e x '+ y' e y ') = - f C     ▼ 運動方程式 m a ' = m r ( ･･ ) ' = F  + F C  + f C   = F  - 2mω( x ( ･ ) ' e y '- y ( ･ ) ' e x ') + mω 2 (x' e x '+ y' e y ') = F  - 2m ω × r ( ･ ) ' - m ω ×( ω × r ') = F  - 2m ω × r ( ･ ) ' + mω 2 { r '- ω ( ω ･ r ')/ω 2 } = F  - 2m ω × v ' + mω 2 r ' ⊥     ▼ 条件 T:地球の自転周期[86164.098903691(s)] ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)] R EE :地球赤道半径[6378.1×10 3 (m)] R PE :地球極　半径[6356.8×10 3 (m)] G:重力定数[6.67430×10 -11 (Nm

2023/9/24(日) コリオリ力 (2回目)   (Coriolis force)   緯度と重力加速度の方向   ■ 前提 ▼ 定義 F  :物体に加える力 F C :コリオリ力(Coriolis force) f C :遠心力(Centrifβgal force) T:地球の自転周期[86164.098903691(s)] ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)] R EE :地球赤道半径[6378.1×10 3 (m)] R PE :地球極　半径[6356.8×10 3 (m)] G:重力定数[6.67430×10 -11 (Nm 2 /kg 2 )] M:地球質量[5.972×10 24 (kg)] R:地球の半径[6367.5×10 3 (m)北緯45°] g:重力加速度[g = GM/R 2  ≒ 9.83077(m/s 2 )] (北緯45°の標準重力加速度は正確にg n  = 9.80665 m/s 2 ) h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする) φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]   以後 (x, y) = (上, 北)として 2次元で表し (a, b) = (R EE , R PE ) とする 焦点距離c = √(a 2 -b 2 ) 離心率e = c/a = √{(a 2 -b 2 )/a 2 } = √(1-b 2 /a 2 ) √(1-e 2 ) = √{1-(1-b 2 /a 2 )} = b/a   ▼ 因みに 地球の角速度 ω = 7.29211514670692…×10 -5  rad/s (15.0410671786702… 度/h) (902.464030720212… 分/h) (赤道周り40075km、子午線周り40009km) (1.852km/海里)(1海里 = 緯度1分) (1674 km/h = 904 ノット) (1225km/h = マッハ1 = 標準大気中の音速)     ■ 導出 ▼ 各緯度の関係   n  :P(x,y)の法線(垂直抗力の方向) φ:地理緯度 Φ:地心緯度 β:パラメトリック緯度(更成緯度) γ:天文経度(重力が指す方向との角γ≒φ)   ▼ 各緯度の関係の導出 P'(acosβ, asinβ) P(x,y) = (

2023/9/22(金) コリオリ力 (1回目)   (Coriolis force)   コリオリ力を求める   ■ 導出 ▼ 定義 k = x,y,zとする 静止座標系の基底を( e x , e y , e z ) = e k   座標を(x, y, z)で表す この静止系のz軸まわりに角速度ωで回転している 回転座標系の基底を( e x ', e y ', e z ') = e k ' 座標を(x', y', z')で表す   位置ベクトルは r  = x e x  + y e y  + z e z  = x' e x ' + y' e y ' + z' e z '    ここで e x と e x 'のなす角は θ = ωt   ▼ 回転系の基底 e x  = (1, 0)をθ傾けると e x '= (cosθ, sinθ) = (cosθ, 0) + (0, sinθ) = (1, 0)cosθ + (0, 1)sinθ = e x cosθ + e y sinθ e y  = (0, 1)をθ傾けると e y '= (-sinθ, cosθ) = (-sinθ, 0) + (0, cosθ) = -(1, 0)sinθ + (0, 1)cosθ よって e x ' =   e x cosωt + e y sinωt e y ' = - e x sinωt + e y cosωt e z ' =   e z     e k と e z 'は時間変化しないので微分は e ( ･ ) x ' = - e x ωsinωt + e y ωcosωt =  ω e y ' e ( ･･ ) x ' = - e x ω 2 cosωt - e y ω 2 sinωt = -ω 2 e x ' e ( ･ ) y ' = - e x ωcosωt - e y ωsinωt = -ω e x ' e ( ･･ ) y ' =   e x ω 2 sinωt - e y ω 2 cosωt = -ω 2 e y ' e ( ･ ) z ' =

2023/9/20(水) N88-BASICで最速降下曲線 (2回目)   (Brachistochrone curve)   最短経路(直線)と比較   ■ 解 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/brachistochrone-1.html 最速降下曲線 (1回目) https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/09/brachistochrone-2.html 最速降下曲線 (2回目) より   ▼ 前提 重力加速度gのもとで(下向きを正とする) 点A(0, 0)から点B(w, h)に降下するとき 質点P(x, y)の最速降下線を求める   ▼ 軌道 0 ≦ θ ≦ 2π x = A(θ - sinθ) y = A(1  - cosθ) θ = t√(g/A) t = θ√(A/g)   ▼ h = 0の時のθ,A θ = 2π A = w/2π   ▼ h > 0の時のθ,A (θ - sinθ) / (1  - cosθ) - h/w = 0   ニュートン法 f(x) = 0の解を求める   f(x) = (1 - cosx) / (x - sinx) - h/w f'(x) = (xsinx + 2cosx - 2)/(x-sinx) 2     x  n  ≠ 0, 2π Δx = f(x  n )/f'(x  n ) x n+1  = x  n  – Δx x = x  n  (if Δx < ε)   θ = xを次の式に代入 A = h/(1  - cosθ)   ▼ 直線軌道 移動率をαとして α = (1/2)gt 2 h/(w 2  + h 2 ) 移動距離 (x, y) = (αw, αh) 時間 t = √{2α(w 2  + h 2 )/(gh)}   ■ 解説 (w, h)を入力して 1sec毎にgridを描画 軌道を描画   直線軌道の時間の点 (紫と赤が対応、それ以外は青) と 最速が終了した時間の点(黄色) を追加     VL,NLと blg～.zip ( brac 00 2 .bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.t