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N88-BASICで量子力学 (2回目)

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2023/5/30(火) N88-BASICで量子力学 (2回目)   (Quantum mechanics)   今回はトンネル効果の透過率です     シュレディンガー方程式の導出 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-1.html 量子力学 (1回目)   時間に依存しないシュレディンガー方程式の分離 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-2.html 量子力学 (2回目)   トンネル効果 https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-5.html 量子力学 (5回目)     ■ 記号 x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J・s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] d :壁の長さ(m) V 0 :壁のポテンシャル [V 0 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)     ■ 長さ有限の壁の解 長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV 0 ≧E)   ■ トンネル効果の透過確率T φ(x < 0  ) = Aexp(ikx) + A'exp(-ikx) φ(0≦x≦d) = Bexp(λx) + B'exp(-λx) φ(x > d  ) = Cexp(ikx) + C'exp(-ikx) について 波がx < 0の位置から右進行している場合 A exp( ikx) … 壁の左側の入射波(右進行) A'exp(-ikx) … 壁の左側の反射波(左進行) C exp( ikx) … 壁の右側の透過波(右進行) となる   存在確率 |φ(x)| 2  より 透過率T = |C/A| 2       ■ r-Tグラフ r = E/V 0  : 0 < r ≦ 1

量子力学 (5回目)

2023/5/27(土) 量子力学 (5回目)   (Quantum mechanics)   今回はトンネル効果です     ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J・s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] d :壁の長さ(m) V 0 :壁のポテンシャル [V 0 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 長さ有限の壁の解 長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV 0 ≧E)   ▼ x < 0 のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (-2mE/ℏ 2 )φ(x) k = √(2mE/ℏ 2 ) … (E ≧ 0) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x) φ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx) (代入すると成り立つ)   ▼ 0 ≦ x ≦ dのとき {ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x) (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 ){V(x) - E}φ(x) V(x) = V 0  より   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 )(V 0  - E)φ(x) λ = √{(2m/ℏ 2 )(V 0  - E)} … (V 0  ≧ E) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = λ 2 φ(x) φ(x) = Cexp(λx) + Dexp(-λx) (代入すると成り立つ)   ▼ x > d のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x) x < 0のとき同様にして φ(x) = Fexp(ikx) + Gexp(-ikx)     ■

量子力学 (4回目)

2023/5/24(水) 量子力学 (4回目)   (Quantum mechanics)   今回は片側有限の井戸型ポテンシャルの解です     ■ 記号 t :時間(s) x :位置(m) x :位置ベクトル(m) m :質量(kg) E :エネルギー(J) h :プランク定数(6.62607015×10 -34 J・s) ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)] φ( x ):時間を含まない波動関数 V( x ):ポテンシャルエネルギー H :ハミルトニアン ∇:ナブラ [∇ = (∂/∂ x )] L :井戸の底の長さ(m) V 1 :井戸の有限壁のポテンシャル [V 1 ≧Eとする]   時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式 [{-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 ) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)       ■ 有限の井戸型ポテンシャル 底の長さLの井戸(壁のポテンシャルが∞とV 1 ≧E)   ▼ x < 0 のとき V(x) = ∞ φ(x) = 0 … 存在確率|φ(x)| 2  = 0   ▼ 0 ≦ x ≦ L のとき V(x) = 0 {-ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = Eφ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (-2mE/ℏ 2 )φ(x) k = √(2mE/ℏ 2 ) … (E ≧ 0) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = -k 2 φ(x) 前回の微分方程式の解より φ(x) = Bcos(kx)+Asin(kx)   ▼ x > L のとき V(x) = V 1   φ(∞) = 0 … 存在確率|φ(∞)| 2  = 0   {ℏ 2 /(2m)}(∂ 2 /∂x 2 )φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x) (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 ){V(x) - E}φ(x)   (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = (2m/ℏ 2 )(V 1  - E)φ(x) λ = √{(2m/ℏ 2 )(V 1  - E)} … (V 1  ≧ E) と置くと (∂ 2 /∂x 2 )φ(x) = λ 2 φ(x) φ(x) = Cexp(-λx) + Dexp(λx) (代入すると成り立つ)   φ(∞) = 0

N88-BASICで相対性理論

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2023/5/19(金) N88-BASICで相対性理論   (特殊相対性理論:Special relativity theory)   E = mc 2   を使った計算です     ■ 関連記事の紹介 t = t'/√{1-(v/c) 2 }の 導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/relativity-1.html 相対性理論 (1回目)   N88-BASICサンプルは https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/12/n88-basictwins.html N88-BASICで双子のパラドックス   E = mc 2  の導出は https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/relativity-2.html 相対性理論 (2回目)     ■ E = mc 2  を使ったサンプル   プールの水量は約 25×16×1.3 = 520 ≒ 500m 3  → 500t とすると、そのエネルギーEは 約4.5×10 22  Jで地球の全大気を 約8.5℃上昇させる   などの計算をしています   自己責任で使用して下さい   VL,NL,XL-BASICと blg~.zip (rela001.bas)は 以下のリンクからダウンロードできます https://ulprojectmail.blogspot.com Readme.txtを読んで遊んで下さい

相対性理論 (2回目)

2023/5/17(水) 相対性理論 (2回目)   (特殊相対性理論:Special relativity theory)   2回目は E = mc 2   の導出     ■ 微小不変量dτ 微小不変量 固有時間 dτ(cdt>>dx,dy,dzなのでほぼ微小時間)を 前回の微小不変量 dsを使用して dτ 2  = -ds 2  = (cdt) 2  - dx 2  - dy 2  - dz 2   と定義する     ■ 4元変位 d x  = (dx 0 , dx 1 , dx 2 , dx 3 ) = (cdt, dx, dy, dz)   ■ 4元速度 4元速度を u  = (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = d x /dτ = (cdt/dτ,dx/dτ,dy/dτ,dz/dτ) と定義する   dτ 2  = (cdt) 2  - dx 2  - dy 2  - dz 2   を dτ 2 で割る 1 = (cdt/dτ) 2 -(dx/dτ) 2 -(dy/dτ) 2 -(dz/dτ) 2   より 1 = u 0 2  - u 1 2  - u 2 2  - u 3 2     dτ 2  = (cdt) 2  - dx 2  - dy 2  - dz 2   を (cdt) 2 で割る (dτ / cdt) 2  = 1-(dx / cdt) 2 -(dy / cdt) 2 -(dz / cdt) 2   = 1 - (1/c 2 ){(dx/dt) 2  + (dy/dt) 2  + (dz/dt) 2 } = 1 - (1/c 2 )(v x 2  + v y 2  + v z 2 ) = 1 - (v 2 /c 2 ) dτ / cdt = √{1 - (v/c) 2 } u 0  = cdt/dτ = 1/√{1 - (v/c) 2 } = γ … ローレンツ係数 u 1  = dx/dτ = (cdt/dτ)(dx / cdt) = γv x /c   よって u  = (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = (γ, γv x /c, γv y /c, γv z /c) … (v x /cはcに対する割合、0.5は光速の半分、無次元量) 1 = u 0 2  - u 1 2  - u