VL-BASICで結晶格子 (1回目)

2021/8/2(月)

VL-BASICで結晶格子 (1回目)

 

面心立方格子

 

r:原子半径、a:単位格子の一辺の長さ

 

上記正方形の図より、三平方の定理を使用して

a² + a² = (4r)² を変形して

(4r)² = 2a² 、4r = a√2

r = {(√2)/4}a

 

または、

a² + a² = (4r)² を変形して

2a² = (4r)² 、a² = 8r² 、a = r²√8

a = (2√2)r

 

c = a/2 = r√2とし、(0,0,0)を単位格子の

中心とすると

( c, 0, 0), ( 0, c, 0), ( 0, 0, c)

(-c, 0, 0), ( 0,-c, 0), ( 0, 0,-c)

( c, c, c), ( c,-c, c), (-c, c, c), (-c,-c, c)

( c, c,-c), ( c,-c,-c), (-c, c,-c), (-c,-c,-c)

を中心とする半径rの14個の球を単位格子でカット

して表示しています

 

 

充填率を求めて見ました

 

半径Rの球の体積Vを求める

 

図　z = rcosφ、d = rsinφ

 

点P(r, θ, φ)、原点O(0, 0, 0)とする

極座標は

動径(半径)方向をr

z軸回りのx軸方向からの角度をθ

z軸から線分OPまでの角度をφとする

 

直交座標P(x, y, z)との関係

点Pのx-y平面へ投影した点の原点からの

距離をdとするとd = rcosφより

x = dcosθ = rcosθsinφ

y = dsinθ = rsinθsinφ

P(x, y, z)

= P(rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ)

 

中心からr離れた微小片の体積dvを考えると

r方向の微小距離をdr

φ(ラジアン)方向の微小角dφ分の距離は

r･dφ(半径rの円弧長さ)

θ(ラジアン)方向の微小角dθ分の距離は

d･dθ = rsinφ･dθ(半径dの円弧長さ)となり

dv = r²sinφ･drdθdφ

V = ∫dv = ∫∫∫r²dsinφ･drdθdφ

(r = 0～R, θ=0～2π, φ=0～π)

= ∫∫[(r³/3)sinφ]dθdφ

= (R³/3)∫∫sinφ･dθdφ

= (R³/3)∫[θsinφ]dφ

= 2π(R³/3)∫sinφ･dφ

= 2π(R³/3)[-cosφ]

= 2π(R³/3){-(-1-1)}

= 4πR³/3

 

ちなみに

半径Rの円の面積Sは

中心から角θ方向に距離r離れた点Pと

中心から角θ+dθ方向に距離r+dr離れた点P'

の2点を対角線とする微小面積はrdθdrとなる

(角dθの半径rの円弧の長さはrdθ)

S = ∫∫rdθdr (θ=0～2π, r=0～R)

= ∫[rθ]dr = ∫2πrdr = 2π∫rdr

= 2π[r²/2] = π[r²] = πR² 

 

半径rの球の体積Vは

V = 4πr³/3

 

単位格子中の原子数n

原子半径r

単位格子の体積v

充填率p(%)とすると

p = 単位格子中の原子の体積/v × 100(%)

p = 100n(4πr³/3) / v

 

a:単位格子の辺長

面心立方格子n = 4, a = 2r√2

v = a³ = (2r√2)³ = 16r³√2 

p = 100n(4πr³/3) / v

= 100･4(4πr³/3) / (16r³√2)

= 100π√2 / (3√2√2)

= (50π√2)/3

 

? 50*3.141592653589793*sqr(2)/3

74.04804896930611

 

VL-BASICとblg～.zip(cris001.bas)は

以下のリンクからダウンロードできます

VL-BASIC(N88-BASIC互換?)ホームページ

Readme.txtを読んで遊んで下さい