三角関数 (1回目)

2021/9/27(月)
三角関数 (1回目)
 
加法定理
sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ
tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1 ∓tanαtanβ)
 
倍角公式
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1
tan2θ = 2tanθ/(1-tan²θ)
 
半角公式
sin²(θ/2) = (1 - cosθ) / 2
cos²(θ/2) = (1 + cosθ) / 2
tan²(θ/2) = (1 - cosθ) / (1 + cosθ)
 
三角関数は、原点Oが中心で半径rの
円周上の点をP(x,y)、正のx軸と
線分OPとのなす角をθとし、
sinθ = y / r
cosθ = x / r
tanθ = y / x
で定義される
(底辺x,高さy,斜辺r, xとrのなす角θの
直角三角形の辺の比を定義している)
 
x = rcosθ
y = rsinθ
は半径rの円を示している
 
BASICでは度数法の360°を2πとする、
弧度法(ラジアン)で計算されます
d°とtラジアンの変換は、
d = 180t / π
t = πd / 180
です
 
 
加法定理の導出
 

 

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
図1. 加法定理
 
sin(-β) = -sinβ
cos(-β) =  cosβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ
 
tan(α±β) = sin(α±β) / cos(α±β)
= (sinαcosβ±cosαsinβ)
/ (cosαcosβ∓sinαsinβ)
　[分子分母をcosαcosβで割り
　 tanθ = sinθ/cosθで置き換える]
= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)
 
 
倍角公式の導出
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ
　　　　　　　　　　　　= 2cos²θ - 1
tan2θ = 2tanθ/(1-tan²θ)
 
 
半角公式の導出
cos2θ = 1 - 2sin²θ、2sin²θ = 1 - cos2θ
より
sin²(θ/2) = (1 - cosθ) / 2
 
cos2θ = 2cos²θ - 1、2cos²θ = 1 + cos2θ
より
cos²(θ/2) = (1 + cosθ) / 2
 
tan²(θ/2) = sin²(θ/2)/cos²(θ/2)
より
tan²(θ/2) = (1 - cosθ) / (1 + cosθ)