三角関数 (2回目)

2021/9/28(火)
三角関数 (2回目)
 
余弦定理を導き
極座標形式の楕円の式を導きます
(証明ではなく導き方の1つです)
 

図1. 余弦定理を導く
 
d² = c² - a²sin²θ = c² - a²(1-cos²θ)
   = c² - a² + a²cos²θ
 
d² = (b - acosθ)² = b² - 2abcosθ + a²cos²θ
 
c² - a² + a²cos²θ = b² - 2abcosθ + a²cos²θ
c² = a² + b² - 2abcosθ (余弦定理)
 
cosθ = (a² + b² - c²) / 2ab
 
cosθ<0 ならθ>90°
 
次の図は、図的に理解できないかを考えて
描いたものです。
分かりにくいですが理解の助けにして下さい。

 

 
cosとtanの変換
x² + y² = r² ⇒ x²/r² + y²/r² = 1より
sin²θ + cos²θ = 1
tanθ = y/x = (y/r)/(x/r) = sinθ/cosθ
tan²θ = sin²θ/cos²θ
       = (1-cos²θ)/cos²θ
       = 1/cos²θ - 1
 
よってcosθの値から次の式でθを計算できます
tan²θ = 1/cos²θ - 1
t = tanθの逆関数はθ=Tan^-1(t)です
 
 
極座標形式の楕円の式を導きます
 

図1. 中心Oから±c離れた焦点F,F'
 
長半径a
離心率e = c / a
焦点距離c = ae
短半径  b = √(a² - c²) = a√(1 - e²)
 
r = 線分PF、r'= 線分PF'と置くと、
楕円はr + r' = 2aとなる
点Pの集合です。
 
この関係を余弦定理で表すと、
r'² =  (2c)² + r² - 2(2c)r cos(180ﾟ-θ)
  sin(180ﾟ-θ) =  sinθ
  cos(180ﾟ-θ) = -cosθ
  tan(180ﾟ-θ) = -tanθ
(2a - r)² =  4c² + r² + 4cr cosθ
-4ar + 4a² = 4c² + 4cr cosθ
(a + c cosθ)r = a² - c² 
r = {(a² - c²)/a} / (1 + c/a cosθ)
ここで、c / a = e、
(a² - c²)/a = a²(1 - e²)/a = a(1 + e²)
より、
r = a(1 - e²) / (1 + e cosθ)
θ= 90ﾟの時のrを半直弦　ℓ = a(1 - e²)
θ=  0ﾟの時のrを近点距離q = a(1 - e)
θ=180ﾟの時のrを遠点距離Q = a(1 + e)
という
[ θ= 90ﾟ ⇒ r = a(1-e²)     /(1+0) ]
[ θ=  0ﾟ ⇒ r = a(1-e)(1+e) /(1+e) ]
[ θ=180ﾟ ⇒ r = a(1-e)(1+e) /(1-e) ]
また
半直弦ℓ = a(1 - e²) = a(1-e)(1+e) = q(1+e)
 
楕円の式
r = a(1 - e²) / (1 + e cosθ)は
 
半直弦ℓ = a(1 - e²) = q(1 + e)
r = ℓ / (1 + e cosθ)
円(e = 0)
楕円(0 < e < 1)
放物線(e = 1)

双曲線(e > 1)
を表します