天体の軌道(Kepler) (1回目)

2021/10/10(日)

天体の軌道(Kepler) (1回目)

 

Keplerの第1法則(楕円軌道)

Keplerの第2法則(面積速度一定)

Keplerの第3法則(公転周期P²∝軌道長半径a³)

Kepler方程式などを導いていきます

 

今回は下準備の、重力ポテンシャルV

(重力による位置エネルギー)と

位置r、速度v、加速度aの極座標表記と

万有引力による角運動量についてです

 

以後、太字傾斜文字はベクトルとします

 

重力ポテンシャルV

 

引力F = -∇ V = -grad V

= -(∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

= -(∂V/∂r, ∂V/∂θ, ∂V/∂φ)

= -(∂V/∂r, ∂V/∂θ, ∂V/∂z)

 

Newtonの万有引力の法則

万有引力定数G, 焦点質量M, 物質の質量m

Mとmの中心間距離rとすると

万有引力の法則はF = GMm/r² となる

Mからmへ向かう方向をr軸とし(r, θ, z)

軸で、mが受ける力を表すと、

F = (-GMm/r², 0, 0)

= -(∂V/∂r, ∂V/∂θ, ∂V/∂z)

より

dV/dr = GMm/r² 

無限遠を基準に最大値V=0とし

Vを負の値で表す為に、

積分範囲∞～rで両辺rで積分すると

∫(dV/dr)dr = ∫(GMm/r²)dr = GMm∫r^-2dr

∫dV = GMm[-r^-1] = -GMm[1/r]

V = -GMm(1/r - 1/∞) = -GMm/r

 

ポテンシャルエネルギーは重力源Mから

離れるほど大きくなり無限遠である値に

収束します。この収束値(最大値)を

分かりやすい0(基準)と決めると、

Vは負の値になります

 

ここで、Mを地球の質量, Rを地球の半径

gを地球表面の重力加速度, hを地表からの

距離とする

mg = GMm/R² (地表の重力)

 

F = GMm/r² = GMm/(R+h)² (高度hの重力)

 

(h << R ⇒ R+h ≒ Rの時

GMm/(R+h)² ≒ GMm/R² = mgと近似できる)

 

Uを地表基準の位置エネルギーとすると

U = V(R+h) - V(R) = -GMm/(R+h) -(-GMm/R)

= GMm(R+h-R)/{R(R+h)}

= GMmh/{R(R+h)} (高度hの位置エネルギー)

≒ GMmh/R² = mgh (h<<R⇒R+h≒Rの時)

 

万有引力定数G ≒ 6.67430×10^-11(Nm²/kg²)

地球質量M ≒ 5.9724×10²⁴(kg)

地球赤道半径R ≒ 6.378×10⁶m(極半径6356km)

地表重力加速度g ≒ 9.8(m/s²)

 

 

位置r、速度v、加速度aの極座標表記と

万有引力による角運動量について

 

x = rcosθ

y = rsinθ

 

正規直交基底ベクトル

(長さ1で各軸が垂直に交わる)

クロネッカーのデルタ

δ_αβ = 1(α＝β) or 0(α≠β)

e_α･e_β = δ_αβ (正規直交)

 

e_x = (cos0, sin0, 0) = (1, 0, 0)

e_y = (cos(π/2), sin(π/2), 0) = (0, 1, 0)

e_z = e_x × e_y  = (0, 0, 1)

 

r,θ,z座標の(正規直交)基底ベクトル

e_r = (cosθ, sinθ, 0) = e_xcosθ+e_ysinθ

|e_r|² = e_r･e_r = cos²θ + sin²θ = 1

rの増加方向をπ/2(90ﾟ)回転させるとθの

増加方向になるので

e_θ = (cos(θ+π/2), sin(θ+π/2), 0)

= (-sinθ, cosθ, 0) =  = -e_xsinθ+e_ycosθ

|e_θ|² = e_θ･e_θ = (-sinθ)² + cos²θ = 1

e_r × e_θ = (0, 0, cos²θ+sin²θ)

= (0, 0, 1) = e_z 

ここで||は1行なら絶対値、

2行以上なら行列を表すことにすると

|e_r | | cosθ sinθ 0||e_x| | e_xcosθ+e_ysinθ|

|e_θ|=|-sinθ cosθ 0||e_y|=|-e_xsinθ+e_yconθ|

|e_z | |　0　　 0　　1||e_z| | e_z 　　　　　　|

 

微分等の公式

関数のパラメータがxの時省略する事にする

f = f(x), g = g(x), d/dx = d/(dx)

f'(x) = f'= df/dx = (d/dx)f

f''(x) = f''= (d/dx)²f = d²f/dx² 

と書く事にする

 

合成関数の微分

df(g)/dx = {df(g)/dg}{dg/dx}

 

関数の積の微分

(fg)'= {f(x+h)g(x+h)-fg}/h (h→0)

= {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g+f(x+h)g-fg}/h (h→0)

= f(x+h){g(x+h)-g}/h+{f(x+h)-f}g/h (h→0)

= fg'+f'gより

(fg)'= fg' + f'g

 

部分積分

fg'= (fg)' - f'g, ∫fg'dx= fg - ∫f'gdx

 

基底ベクトルの時間微分

x, y, r, θは時間tの関数

(θ(・) = dθ/dt, θ(‥) = d²θ/dt²)

e(・)_r = -θ(・)e_xsinθ+θ(・)e_ycosθ = θ(・)e_θ

e(・)_θ = -θ(・)e_xcosθ-θ(・)e_ysinθ = -θ(・)e_r 

e(‥)_r = θ(‥)e_θ + θ(・)e(・)_θ = θ(‥)e_θ - θ(・)²e_r 

e(‥)_θ = -θ(‥)e_r - θ(・)e(・)_r = -θ(‥)e_r - θ(・)²e_θ 

 

位置ベクトル

r = (x, y) = (rcosθ, rsinθ)

= e_xrcosθ + e_yrsinθ = re_r 

e_r がr の方向を向いているので

e_θ方向の成分は0となる

r_r = r

r_θ = 0

 

速度ベクトル

Newtonの運動方程式(第2法則、運動法則)

力F, 運動量p, 加速度v, 位置r, 質量m

F = p(・) = ma = mv(・) = mr(‥)

より、

v = r(・) = r(・)e_r + re(・)_r = r(・)e_r + rθ(・)e_θ 

v_r = r(・)

v_θ = rθ(・)

a = v(・) = r(‥)e_r + r(・)e(・)_r + r(・)e(・)_r + re(‥)_r 

= r(‥)e_r + 2r(・)θ(・)e_θ + r(θ(‥)e_θ - θ(・)²e_r)

= (r(‥) - rθ(・)²)e_r + (2r(・)θ(・) + rθ(‥))e_θ 

a_r = r(‥) - rθ(・)² 

a_θ = 2r(・)θ(・) + rθ(‥) 

 

万有引力による運動

F_r = ma_r = -GMm/r² , F_θ = F_z = 0

a_r = r(‥) - rθ(・)² = -GM/r² 

a_θ = 2r(・)θ(・) + rθ(‥) = 0

 

角運動量L = r×p = r×mv

= re_r×m(r(・)e_r + rθ(・)e_θ)

= mrr(・)(e_r×e_r) + mr²θ(・)(e_r×e_θ) = mr²θ(・)e_z 

L_r = L_θ = 0 , L_z = mr²θ(・)

L_zの時間変化量(力のモーメント)

L(・)_z = m(2r(・)θ(・)+r²θ(‥)) = ma_θ = 0より

L_z = mr²θ(・) = const.(一定)

よって、万有引力による角運動量は

保存される

 

(θ=真近点角fです)