天体の軌道(Kepler) (3回目)

2021/10/12(火)

天体の軌道(Kepler) (3回目)

 

Keplerの第2法則(面積速度一定)

と面積速度を導きます

 

扇形の面積

角度θ、半径rの扇形の面積Sは、

S = πr²(θ/2π) = (r²/2)θ

楕円の時もθが微小(dθ)の時はこの式で

近似できるので、楕円の微小掃引面積dSは

dS = (r²/2)dθ

となり、面積速度S(・)は、

S(・) = (r²/2)θ(・) となる

 

万有引力による運動は角運動量が一定

L_z = mr²θ(・) = const. (他の成分は0)

より

L_z = mr²θ(・) = mr²S(・)/(r²/2) = 2mS(・)

また

S(・) = L_z/(2m) = const.(一定)

よって

Keplerの第2法則(面積速度一定)

が成り立ちます

 

面積加速度S(‥)を計算しても0(面積速度一定)

になります

万有引力による運動

F_r = ma_r = -GMm/r² , F_θ = F_z = 0

a_r = r(‥) - rθ(・)² = -GM/r² 

a_θ = 2r(・)θ(・) + rθ(‥) = 0

S(・) = (r²/2)θ(・) = (1/2)r²θ(・)

S(‥) = (1/2)(2rr(・)θ(・) + r²θ(‥))

= (r/2)(2r(・)θ(・) + rθ(‥)) = 0

 

面積速度を求める

 

軌道長半径a

近点距離q = a(1-e)

重力定数μ=GM

半直弦ℓ = L_z²/(GMm²) = q(1+e) = a(1-e²)

L_z² = GMm²q(1+e) = μm²ℓ

S(・) = L_z/(2m) = √(μm²ℓ)/(2m)

= √(μℓ)/2

= √{μq(1+e)}/2 = √{μa(1-e²)}/2