天体の軌道(Kepler) (4回目)

2021/10/13(水)

天体の軌道(Kepler) (4回目)

 

Keplerの第3法則

(公転周期Pと軌道長半径aの関係)

と平均運動nを導きます

 

s = S(・)と置く事にする

万有引力定数G,焦点質量M(太陽等)

重力定数μ=GM

面積速度s = √(μℓ)/2 = const.

 

半直弦ℓ = a(1-e²) = q(1+e)

(1-e²) = ℓ/a , c = ae

b² = a² - c² = a²(1-e²) = a²ℓ/a

= aℓ = const.

 

楕円の面積S₀ = πab

周期P = S₀/s

周期P² = (S₀/s)² = (πab)²/s² 

= π²a²aℓ/s² = a³π²ℓ/s² 

P²/a³ = π²ℓ/s² = const.

これがKeplerの第3法則です。

周期の2乗と軌道長半径の3乗が比例する。

 

P²/a³ = π²ℓ/s² より

P = π√(a³ℓ)/s

ここで、平均近点角M = nt

(平均運動n, 時間t)より2π = nP

P = 2π/n = π√(a³ℓ)/s

2π = n√(a³ℓ)/s

n = 2s/√(a³ℓ) = √(μℓ)/√(a³ℓ)

n = √(μ/a³) [√(μ/|a|³) if a < 0]

 

a = ∞(e = 1)の時n = 0で不適なので

放物線のnは別の方法で求める

 

放物線の面積速度s = √(μℓ)/2

= √(2qμ)/2

 

r = q(1+e)/(1+ecosf) (e=1)

r = 2q/(1+cosf)

y = rsinf = 2qsinf/(1+cosf)

　tan(α/2) = sinα/(1 + cosα)

y = 2qtan(f/2)

θ= tan(f/2)と置くと

y = 2qθ

よって

y = rsinf = 2qθ

sinf = (2q/r)θ

  0≦θ<<1なら

  rsinθ < rθ(円弧)、面積r²θ/2 < (rtanθ)/2

  よりsinθ < θ < tanθをsinθで割る

  1 < θ/sinθ < 1/cosθの逆数

  cosθ < (sinθ)/θ < 1

  (sinθ)/θ = 1 (θ→0)

  sinθ = θ (θ<<1)より

sindf = df = (2q/r)dθ

 

扇の面積=πr²(f/2π)=fr²/2

f << 1(十分小さい)ときのfをdfとすると

角dfの掃引面積dSは扇に近づくと考えて、

dS = df(r²/2)にdf = (2q/r)dθを代入して、

dS = (qr)dθ, r = q + qθ² より

dS = q²(1+θ²)dθ

面積速度dS/dt = q²(1+θ²)(dθ/dt) = S(・)

= s = √(2qμ)/2

2q²(1+θ²)/√(2q)(dθ/dt) = √μ

q(1+θ²)√(2q)(dθ/dt) = √μ

ここで

θ = u/√(2q)と置くと

dθ = du/√(2q)

q(1+θ²)√(2q)(dθ/dt)

= q{1+u²/(2q)}(du/dt)より

(q + u²/2)(du/dt) = √μを両辺tで積分

∫(q + u²/2)(du/dt)dt = ∫√μdt

∫(q + u²/2)du = ∫√μdt

 

√μ = const.なので

qu + u³/6 = √μt + C

t = 0の時u = 0なら積分定数C = 0

M = √μtと置くと、

ケプラー方程式 M = u³/6 + qu

が導かれる。

M = ntより、n = √μ

 

また、面積速度s = √(2qμ)/2 = n√(2q)/2

が導かれる

 

平均近点角M = nt(平均運動n, 時間t)

楕円の場合M = 2πで1周なので

2π = nP(周期P)よりn = 2π/P

 

まとめ、平均運動nは

n = √(μ/a³)   (if e < 1)(楕)円

n = √(μ)      (if e = 1)放物線

n = √(μ/|a|³) (if e > 1)双曲線

n = 2π/P(楕円周期Pが分かっている場合)

 

おまけ

(楕)円面積速度√{μa(1-e²)}/2

= n√{a⁴(1-e²)}/2 = na√{a²(1-e²)}/2

= nab/2 (a,b>0)

放物線面積速度√{μ2q}/2

= n√{2q}/2

双曲線面積速度√{μa(1-e²)}/2

= nab/2 (a,b<0)