天体の軌道(Kepler) (6回目)

2021/10/15(金)

天体の軌道(Kepler) (6回目)

 

双曲線軌道の

tan(f/2) = √{(e+1)/(e-1)}tanh(u/2)

M = esinh(u) - u ケプラー方程式の導出

(真近点角f,離心近点角u,平均近点角M)

 

離心率e

以下の|1 - e|などはそのまま絶対値記号

を外せる順にしてあります

 

双曲線軌道(e＞1)

近点距離q = a|e - 1| = |c - a|

焦点距離c = a + q = ae (c > a)

a = q / |e - 1| = c - q (a < c)

b = √|c² - a²| = a√|e² - 1|

半直弦L = a|e² - 1| = q(1 + e)

 

楕円軌道(0≦e＜1)

近点距離q = a|1 - e| = |a - c|

焦点距離c = a - q = ae (c < a)

長半径a = q / |1 - e| = q + c (a > q)

短半径b = √|a² - c²| = a√|1 - e²|

半直弦L = a|1 - e²| = q(1 + e)

 

楕円放物線双曲線共通(r,f)の関係

真近点角f

半直弦L = q(1 + e)

軌道半径r = L / (1 + e cosf)

 

ここでは以後

離心近点角v(楕円用)

離心近点角u(双曲線用)

として区別することにします

 

楕円と双曲線の対比

楕円(円)　　　　　　双曲線

x²+y²=1　　　　　　　x²-y²=1

(x,y)=(cosv, sinv)　(x,y)=(±coshu,sinhu)

cos²v+sin²v=1　　　　cosh²u-sinh²u=1

x²/a²+y²/a²=1　　　　　x²/a²-y²/a²=1

(x,y)=(acosv,asinv)　(x,y)=(±acoshu,asinhu)

x²/a²+y²/b²=1　　　　　x²/a²-y²/b²=1

(x,y)=(acosv,bsinv)　(x,y)=(±acoshu,bsinhu)

 

双曲線関数

eネイピア数(自然対数の底)のt乗は

離心率eと混同しないため

exp(t)と書くことにします

sin(t)　= {exp(it)-exp(-it)}/(2i)

cos(t)　= {exp(it)+exp(-it)}/2

tan(t)　= sin(t)/cos(t)

sinh(t) = {exp(t)-exp(-t)}/2

cosh(t) = {exp(t)+exp(-t)}/2

tanh(t) = sinh(t)/cosh(t)

 

sin(it) = {exp(-t)-exp(t)}/(2i)

　　　　= -{exp(t)-exp(-t)}/(2i)

　　　　= i{exp(t)-exp(-t)}/2i

　　　　= isinh(t)

sinh(t) = -isin(it)

sinh(it) = -isin(-t) = isin(t)

sin(t)　= -isinh(it)

cos(it) = {exp(-t)+exp(t)}/2

　　　　= cosh(t)

cosh(it) = cos(-t) = cos(t)

 

楕円と双曲線の関係

v = iuと置くと

tan(v) = sin(v)/cos(v) = sin(iu)/cos(iu)

= isinh(u)/cosh(u) = itanh(u)や

x = acos(v) = acos(iu) = acosh(u)

y = bsin(v) = bsin(iu) = bisinh(u)

(x,y)は楕円を表し

tan(v) = tanh(u)やy'= bsinh(u),

(x,y')は双曲線を表します

つまり

vを使った楕円の公式は、楕円

(acos(v), bsin(v)) = (acosh(u), bisinh(u))

を、双曲線(acosh(u), bsinh(u))に変換すると

uを使った双曲線に使えるという事です

ただし

cosh(u)は負にならないので

x = +acosh(u)ならx軸の正方向

x = -acosh(u)ならx軸の負方向

のみの楕円や双曲線を表します

 

双曲線のu,f変換式を得る

楕円のv = iu,f変換式より

tan(v/2) = itanh(u/2)

tan(f/2) = √{(1+e)/(1-e)}tan(v/2)

　　　　 = √{(1+e)/|1-e|}itanh(u/2)

ならtan(f/2)は楕円(e<1)

tan(f/2) = √{(1+e)/|1-e|}tanh(u/2)

ならtan(f/2)は双曲線(e>1)です

よって、双曲線のu,f変換式は

e>1に注意して絶対値を外して

tan(f/2) = √{(e+1)/(e-1)}tanh(u/2)

です

 

双曲線のケプラー方程式を得る

楕円のケプラー方程式より

M = v - esin(v) = iu - esin(iu)

= iu - eisinh(u) = i{u - esinh(u)}

iM = esinh(u) - u … 楕円のケプラー方程式

iMは楕円の平均近点角を表し

M = nt(平均運動n,経過時間t)よりiM=nit

(cos(nit), sin(nit)) = (cosh(nt), isinh(nt))

が楕円の経過時間(1周で1周期)を表すので

(cosh(nt), sinh(nt))が双曲線の経過時間を

表すことになります

nt = Mより

M = esinh(u) - u … 双曲線のケプラー方程式

Mは双曲線の平均近点角を表します

 

M = esinh(u) - uのsinh(u)についていたiは

(cosh(nt), isinh(nt))に移動させて取ったので

sinh(u)から更にiを取ることはできません