天体の軌道(Kepler) (7回目)
2021/10/16(土)
天体の軌道(Kepler) (7回目)
放物線軌道の
tan(f/2) = u/√(2q)
M = u3/6 + qu ケプラー方程式の導出
(真近点角f,離心近点角u,平均近点角M)
放物線軌道
u:離心近点角(放物線用で楕円などと異なる)
M:平均近点角
f:真近点角
q:近点距離
r:軌道半径
r = 2q/(1+cosf) (e=1の楕円の式)
f = 90°⇒ r = 2q
f = 0°の時の位置を原点とすると
f = 90°⇒ P(-q, 2q)
y2 = axに代入して4q2 = -qa (q > 0)
4q = -a ⇒ a = -4q
y2 = -4qx (q>0, x≦0)
r = |(x,y)-(-q,0)| = |(x,√(-4qx))-(-q,0)|
= √{(x+q)2-4qx} = √{x2+2qx+q2-4qx}
= √{x2-2qx+q2} = √(q - x)2
= q - x > 0 (q>0, x≦0)
媒介変数θによる表記
cos2α = cos(α+α) = cos2α-sin2α
= cos2α-(1 - cos2α) = 2cos2α - 1
= (1 - sin2α)-sin2α = 1 - 2sin2α
sin2(α/2) = (1 - cosα)/2
cos2(α/2) = (1 + cosα)/2
tan2(α/2) = (1 - cosα)/(1 + cosα)
= (1 - cos2α)/(1 + cosα)2
= sin2α/(1 + cosα)2
tan(α/2) = sinα/(1 + cosα)
より
r = 2q/(1+cosf)
y = rsinf = 2qsinf/(1+cosf)
y = 2qtan(f/2)
ここで
θ= tan(f/2)と置くと
y = 2qθ, x = -y2/(4q) = -qθ2
よって
x = -qθ2
y = 2qθ
r = q - x = q + qθ2
面積速度を求める
楕円軌道の面積速度K = nab/2 (一定)
平均運動n = 2π/P (周期P)
μ=GM,G万有引力定数,M焦点質量(太陽等)
楕円n=√(μ/a3),放物線n=√μより
放物線軌道のnは楕円軌道のa=1の時と
同じになり
半直弦 ℓ = b2/a(楕円), 2q(放物線)
が同じと考えると
b2/a = 2q, K = nab/2, a = 1
より
K = n√(2q)/2
ケプラー方程式(θ)の導出
y = rsinf = 2qθ
sinf = (2q/r)θのf,θを微小角df,dθに置き換えて
sindf = (2q/r)dθ
0≦θ<<1で、角度θ斜辺1の直角三角形を考えると
高さ < 半径1の円弧 < 底辺1の直角三角形の高さ
sinθ < θ < tanθ(=sinθ/cosθ)
をsinθで割る
1 < θ/sinθ < 1/cosθの逆数
1 > (sinθ)/θ > cosθここで(θ→0)とすると
1 > (sinθ)/θ > 1となり
(sinθ)/θ = 1 (θ→0)なので
sinθ = θ (θ<<1)より
sindf = df
df = (2q/r)dθ
扇の面積=πr2(f/2π)=fr2/2
f << 1(十分小さい)ときのfをdfとすると
角dfの掃引面積dSは扇に近づくと考えて、
dS = df(r2/2)にdf = (2q/r)dθを代入して、
dS = (qr)dθ, r = q + qθ2 より
dS = q2(1+θ2)dθ
dS/dt = q2(1+θ2)(dθ/dt) = K = n√(2q)/2
2q2(1+θ2)/√(2q)(dθ/dt) = n
q(1+θ2)√(2q)(dθ/dt) = n
ここで
θ = u/√(2q)と置くと
dθ = du/√(2q)
q(1+θ2)√(2q)(dθ/dt)
= q{1+u2/(2q)}(du/dt)より
(q + u2/2)(du/dt) = nを両辺tで積分
∫(q + u2/2)(du/dt)dt = ∫ndt
∫(q + u2/2)du = ∫ndt
qu + u3/6 = nt + C
t = 0の時u = 0なら積分定数C = 0
M = nt より、
ケプラー方程式 M = u3/6 + qu
が導かれる。
放物線の離心近点角uによる表記
θ = u/√(2q)と置くと
y = 2qθ = u√(2q), y2 = 2qu2
x = -y2/(4q) = -u2/2
よって
x = -u2/2
y = u√(2q)
r = q - x = q + u2/2
u,f変換式
θ = u/√(2q),θ=tan(f/2)より
tan(f/2) = u/√(2q)
