天体の軌道(Kepler) (7回目)

2021/10/16(土)

天体の軌道(Kepler) (7回目)

 

放物線軌道の

tan(f/2) = u/√(2q)

M = u³/6 + qu ケプラー方程式の導出

(真近点角f,離心近点角u,平均近点角M)

 

放物線軌道

u:離心近点角(放物線用で楕円などと異なる)

M:平均近点角

f:真近点角

q:近点距離

r:軌道半径

r = 2q/(1+cosf) (e=1の楕円の式)

 

f = 90°⇒ r = 2q

f = 0°の時の位置を原点とすると

f = 90°⇒ P(-q, 2q)

y² = axに代入して4q² = -qa (q > 0)

4q = -a ⇒ a = -4q

y² = -4qx (q>0, x≦0)

r = |(x,y)-(-q,0)| = |(x,√(-4qx))-(-q,0)|

　= √{(x+q)²-4qx} = √{x²+2qx+q²-4qx}

　= √{x²-2qx+q²} = √(q - x)² 

　= q - x > 0 (q>0, x≦0)

 

媒介変数θによる表記

 

cos2α = cos(α+α) = cos²α-sin²α

= cos²α-(1 - cos²α) = 2cos²α - 1

= (1 - sin²α)-sin²α = 1 - 2sin²α

sin²(α/2) = (1 - cosα)/2

cos²(α/2) = (1 + cosα)/2

tan²(α/2) = (1 - cosα)/(1 + cosα)

　　　　　= (1 - cos²α)/(1 + cosα)² 

　　　　　= sin²α/(1 + cosα)² 

tan(α/2) = sinα/(1 + cosα)

より

r = 2q/(1+cosf)

y = rsinf = 2qsinf/(1+cosf)

y = 2qtan(f/2)

ここで

θ= tan(f/2)と置くと

y = 2qθ, x = -y²/(4q) = -qθ² 

よって

x = -qθ² 

y = 2qθ

r = q - x = q + qθ² 

 

面積速度を求める

 

楕円軌道の面積速度K = nab/2 (一定)

平均運動n = 2π/P (周期P)

μ=GM,G万有引力定数,M焦点質量(太陽等)

楕円n=√(μ/a³),放物線n=√μより

放物線軌道のnは楕円軌道のa=1の時と

同じになり

半直弦 ℓ = b²/a(楕円), 2q(放物線)

が同じと考えると

b²/a = 2q, K = nab/2, a = 1

より

K = n√(2q)/2

 

ケプラー方程式(θ)の導出

 

y = rsinf = 2qθ

sinf = (2q/r)θのf,θを微小角df,dθに置き換えて

sindf = (2q/r)dθ

　0≦θ<<1で、角度θ斜辺1の直角三角形を考えると

　高さ　< 半径1の円弧 < 底辺1の直角三角形の高さ

　sinθ < θ　　　　　 < tanθ(=sinθ/cosθ)

　をsinθで割る

　1 < θ/sinθ < 1/cosθの逆数

　1 > (sinθ)/θ > cosθここで(θ→0)とすると

　1 > (sinθ)/θ > 1となり

　(sinθ)/θ = 1 (θ→0)なので

　sinθ = θ (θ<<1)より

sindf = df

df = (2q/r)dθ

 

扇の面積=πr²(f/2π)=fr²/2

f << 1(十分小さい)ときのfをdfとすると

角dfの掃引面積dSは扇に近づくと考えて、

dS = df(r²/2)にdf = (2q/r)dθを代入して、

dS = (qr)dθ, r = q + qθ² より

dS = q²(1+θ²)dθ

 

dS/dt = q²(1+θ²)(dθ/dt) = K = n√(2q)/2

2q²(1+θ²)/√(2q)(dθ/dt) = n

q(1+θ²)√(2q)(dθ/dt) = n

ここで

θ = u/√(2q)と置くと

dθ = du/√(2q)

q(1+θ²)√(2q)(dθ/dt)

= q{1+u²/(2q)}(du/dt)より

(q + u²/2)(du/dt) = nを両辺tで積分

∫(q + u²/2)(du/dt)dt = ∫ndt

∫(q + u²/2)du = ∫ndt

 

qu + u³/6 = nt + C

t = 0の時u = 0なら積分定数C = 0

M = nt より、

ケプラー方程式 M = u³/6 + qu

が導かれる。

 

放物線の離心近点角uによる表記

 

θ = u/√(2q)と置くと

y = 2qθ = u√(2q), y² = 2qu² 

x = -y²/(4q) = -u²/2

よって

x = -u²/2

y = u√(2q)

r = q - x = q + u²/2

 

u,f変換式

 

θ = u/√(2q),θ=tan(f/2)より

tan(f/2) = u/√(2q)