遠心力 (3回目)

2023/3/27(月)
遠心力 (3回目)
 
(Centrifugal force)

 
図1.O→A→B→C(→D)と移動する質量mの質点(Cは最終接地点)
　　その後の最高点をE,着地点をFとする
　　O→A→B→C→E→FまたはO→A→B→D→F
 
 
前回より
x_C = √{r² - (r - h_C)²}
cosθ_C = (r - h_C)/r
sinθ_C = x_C / r
sinθ_C = (1/r)√{r² - (r - h_C)²}
v_C = √{(v_B² - 2gr) / 3} (v_C = 0 if v_B² < 2gr)
v_C = = (v_Cx,v_Cy) = (v_Ccosθ_C,v_Csinθ_C)
(方向は水平右方向からの仰角θ)
 
 
 
(1)O地点の高さhをv_Aとh_Aで表す
力学的エネルギー保存則より
(1/2)mv_A² + mgh_A = mgh
h = h_A + v_A²/(2g)
 
 
 
以後O地点の高さhを使用して表す
 
(2) h≧h₀の時のD地点での速度v_D 
h₀ = (5/2)r
h ≧ h₀の時v_B ≧ √(5gr)
v_B = √(2gh)
力学的エネルギー保存則より
(1/2)mv_B² = (1/2)mv_D² + 2mgr
v_D² = v_B² - 4gr
v_D = √(2gh - 4gr)
v_D = √{2g(h - 2r)}
 
 
 
(3) h≧h₀の時の地面Fまでの時間t₂ 
2r = (1/2)gt₂² 
t₂ = √(4r/g)
 
 
 
(4)最終接地点の高さh_Cをhで表す 
h_C = (gr + v_B²)/(3g)
= (gr + 2gh)/(3g)
 
h_C = (r + 2h)/3 (h_C = h if h ≦ r)
… (力学的エネルギー保存則より)
 
 
 
以後h_Cを使用して表す
 
(5)離れてから最高点h_Eまでの時間t₁ 
v_C = (v_Cx,v_Cy) = (v_Ccosθ_C,v_Csinθ_C)
なので
v_y = v_Cy - gt₁ = 0の時最高点
t₁ = v_Cy/g
 
 
 
(6)最高点h_E 
h_Cからの高さh'を求める
v_C = (v_Cx,v_Cy) = (v_Ccosθ_C,v_Csinθ_C)
h_Cからh_Eまでの時間t₁ = v_Cy/gより
h' = (1/2)gt₁² 
 
h_E = h_C + h'
= h_C + (1/2)gt₁² 
h_E = h_C + v_Cy²/(2g)
 
 
 
(7)最高点h_Eの位置x_E 
x_C = √{r² - (r - h_C)²}
v_C = (v_Cx,v_Cy) = (v_Ccosθ_C,v_Csinθ_C)
t₁ = v_Cy/g
x_E = x_C + v_Cxt₁ = x_C + v_Cxv_Cy/g
 
 
 
(8)最高点から着地までの時間t₂は
h_E = (1/2)gt₂² 
t₂ = √(2h_E/g)
 
t₂ = √(2h_E/g)
= √[2{h_C + v_Cy²/(2g)}/g]
= √{(2h_C + v_Cy²/g)/g}
= √{(2gh_C + v_Cy²)/g²}
t₂ = (1/g)√(2gh_C + v_Cy²)
 
 
 
(9)着地点の位置x_F 
x_C = √{r² - (r - h_C)²}
x_E = x_C + v_Cxt₁ = x_C + v_Cxv_Cy/g
 
v_C = (v_Cx,v_Cy) = (v_Ccosθ_C,v_Csinθ_C)
t₁ = v_Cy/g
t₂ = (1/g)√(2gh_C + v_Cy²)
 
x_F = x_E + v_Cxt₂ 
= x_E + (v_Cx/g)√(2gh_C + v_Cy²)