量子力学 (1回目)

2023/5/1(月)
量子力学 (1回目)
 
(Quantum mechanics)
 
今回はシュレディンガー方程式の導出です
 
 
 
■ 記号
y :変位(m)
A :振幅(m)
λ:波長(m)(m/回)
f :波の振動数(Hz)(回/s)
v :速度(m/s) [波の速度v = λf]
k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ]
ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf]
x :位置(m)
t :時間(s)
ν:物質波などの振動数(Hz)
c :光速(m/s)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
p :運動量(kg･m/s) [p = mv]
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
Ψ(x,t):波動関数
V(x,t):ポテンシャルエネルギー [またはV(x)]
H:ハミルトニアン
∇:ナブラ [∇ = (∂/∂x)]
 
 
 
■ 正弦波
位置による変位
x = 0のときy = 0とする
x = 2λのときx/λ=波2回分なので
位相は2π×2(=2πx/λ)となるので
y = Asin(2πx/λ)
 
時間による変位(正弦波は右に移動するとする)
t = 0のときy = 0とする
t = 2s、f=3Hzのときft=波3×2回分なので
位相は2π×3×2(=2πft)となるが
正弦波が右方向に進行すると
初め波は負の方向に変位するので
y = Asin(-2πft)
となる
 
位置と時間による位相を合わせて
y = Asin(2πx/λ - 2πft)
y = Asin{2π(x/λ - ft)}
k = 2π/λ、ω = 2πfより
 
y = Asin(kx - ωt)
 
 
 
■ 正弦波の指数表記
y = Asin(kx - ωt)と
y = Acos(kx - ωt)は位相が違うだけで
同じく波を表している
y = A{cos(kx - ωt) + isin(kx - ωt)}
の実部も同じく波を表している
オイラーの公式
exp(iθ) = e^iθ = cosθ+isinθより
y = Ae^{i(kx - ωt)} = Aexp{i(kx - ωt)}
波動関数
Ψ(x,t) = Aexp{i(kx - ωt)}
 
 
 
■ 素粒子の関係式
ハイゼンベルクの不確定性原理
ΔxΔp ≧ ℏ/2
 
ド・ブロイの方程式(物質波)(de Broglie)
λ = h/p
p = h/λ = ℏk
k = p/ℏ
 
アインシュタイン(Einstein)の光子についての式
p = E/c、λ=c/νより
E = pc = pνλ = hν = ℏω
ω = E/ℏ
 
古典力学
p = mv、v = p/m
E = (1/2)mv² = p²/(2m)
 
 
 
■ Eとpの関係式を波動関数Ψで書く
E = p²/(2m)をΨで表すには
 
k = p/ℏ … p²が必要なのでxで2階微分
ω = E/ℏ … Eが必要なのでtで1階微分
 
Ψ(x,t) = Aexp{i(kx - ωt)}
 
(∂²/∂x²)Ψ = (ik)²Aexp{i(kx - ωt)}
= -k²Ψ = -(p²/ℏ²)Ψ
p² = (-ℏ²/Ψ)(∂²/∂x²)Ψ
 
(∂/∂t)Ψ = -iωAexp{i(kx - ωt)}
= -iωΨ = -i(E/ℏ)Ψ
E = {-ℏ/(iΨ)}(∂/∂t)Ψ
E = (iℏ/Ψ)(∂/∂t)Ψ
 
E = p²/(2m)に
p² = (-ℏ²/Ψ)(∂²/∂x²)Ψ
E = (iℏ/Ψ)(∂/∂t)Ψ
を代入
(iℏ/Ψ)(∂/∂t)Ψ = {-ℏ²/(2mΨ)}(∂²/∂x²)Ψ
iℏ(∂/∂t)Ψ = {-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)Ψ
 
 
 
■ ポテンシャルエネルギーの追加
V(x,t):ポテンシャルエネルギー
 
E = p²/(2m) + V(x,t)に
p² = (-ℏ²/Ψ)(∂²/∂x²)Ψ
E = (iℏ/Ψ)(∂/∂t)Ψ
を代入
(iℏ/Ψ)(∂/∂t)Ψ = {-ℏ²/(2mΨ)}(∂²/∂x²)Ψ + V(x)
iℏ(∂/∂t)Ψ = {-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)Ψ + V(x,t)Ψ
iℏ(∂/∂t)Ψ = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]Ψ
 
 
 
■ ハミルトニアンH
H = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]
EΨ = iℏ(∂/∂t)Ψ
と置いて
iℏ(∂/∂t)Ψ = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]Ψ
は
EΨ = HΨ
となり
xをx(位置ベクトル)に置き換えると
3次元の方程式となる
 
 
 
■ シュレディンガー方程式
iℏ(∂/∂t)Ψ(x,t) = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]Ψ(x,t)
 
は

ラブラシアン
∇² = ∂²/∂x² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 

を使用して
iℏ(∂/∂t)Ψ(x,t) = [{-ℏ²/(2m)}∇² + V(x,t)]Ψ(x,t)
 
または
H = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]
EΨ = iℏ(∂/∂t)Ψ
を使用して
EΨ(x,t) = HΨ(x,t)