量子力学 (2回目)

2023/5/5(金)
量子力学 (2回目)
 
(Quantum mechanics)
 
今回は時間に依存しない
シュレディンガー方程式の導出です
 
 
 
■ 記号
y :変位(m)
A :振幅(m)
λ:波長(m)(m/回)
f :波の振動数(Hz)(回/s)
v :速度(m/s) [波の速度v = λf]
k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ]
ω:各振動数(rad/s) [ω = 2πf]
x :位置(m)
t :時間(s)
ν:物質波などの振動数(Hz)
c :光速(m/s)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
p :運動量(kg･m/s) [p = mv]
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
Ψ(x,t):波動関数
V(x,t):ポテンシャルエネルギー [またはV(x)]
H:ハミルトニアン
∇:ナブラ [∇ = (∂/∂x)]
 
 
 
■ シュレディンガー方程式の変数分離
iℏ(∂/∂t)Ψ(x,t) = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]Ψ(x,t)
EΨ(x,t) = HΨ(x,t)
 
Ψ(x,t) = φ(x)f(t)と置く
E{φ(x)f(t)} = H{φ(x)f(t)}
φ(x)Ef(t) = f(t)Hφ(x) … 定数項を出す
 
{1/f(t)}Ef(t) = {1/φ(x)}Hφ(x) = Eと置く
左辺はxに依存せず、右辺はtに依存しないので
Eは一定となる
 
{1/φ(x)}H{φ(x)} = E = const.より
Hφ(x) = Eφ(x)
[{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)
 
一方
{1/f(t)}Ef(t) = E
iℏ(∂/∂t)f(t) = Ef(t)
(∂/∂t)f(t) = (E/iℏ)f(t)
(∂/∂t)f(t) = (-iE/ℏ)f(t)
 
 
 
■ まとめ
時間を含むシュレディンガー方程式
EΨ(x,t) = HΨ(x,t)
iℏ(∂/∂t)Ψ(x,t) = [{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x,t)]Ψ(x,t)
 
時間を含まないシュレディンガー方程式
Hφ(x) = Eφ(x)
[{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)
 
時間のみのシュレディンガー方程式
(∂/∂t)f(t) = (-iE/ℏ)f(t)