量子力学 (4回目)

2023/5/24(水)
量子力学 (4回目)
 
(Quantum mechanics)
 
今回は片側有限の井戸型ポテンシャルの解です
 
 
■ 記号
t :時間(s)
x :位置(m)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
φ(x):時間を含まない波動関数
V(x):ポテンシャルエネルギー
H :ハミルトニアン
∇:ナブラ [∇ = (∂/∂x)]
L :井戸の底の長さ(m)
V₁:井戸の有限壁のポテンシャル [V₁≧Eとする]
 
時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式
[{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)
 
 
 
■ 有限の井戸型ポテンシャル
底の長さLの井戸(壁のポテンシャルが∞とV₁≧E)
 
▼ x < 0 のとき
V(x) = ∞
φ(x) = 0 … 存在確率|φ(x)|² = 0
 
▼ 0 ≦ x ≦ L のとき
V(x) = 0
{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)φ(x) = Eφ(x)
 
(∂²/∂x²)φ(x) = (-2mE/ℏ²)φ(x)
k = √(2mE/ℏ²) … (E ≧ 0)
と置くと
(∂²/∂x²)φ(x) = -k²φ(x)
前回の微分方程式の解より
φ(x) = Bcos(kx)+Asin(kx)
 
▼ x > L のとき
V(x) = V₁ 
φ(∞) = 0 … 存在確率|φ(∞)|² = 0
 
{ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x)
(∂²/∂x²)φ(x) = (2m/ℏ²){V(x) - E}φ(x)
 
(∂²/∂x²)φ(x) = (2m/ℏ²)(V₁ - E)φ(x)
λ = √{(2m/ℏ²)(V₁ - E)} … (V₁ ≧ E)
と置くと
(∂²/∂x²)φ(x) = λ²φ(x)
φ(x) = Cexp(-λx) + Dexp(λx)
(代入すると成り立つ)
 
φ(∞) = 0より
φ(x) = Cexp(-λx)
 
▼ 連続性
φ(x) = 0 … (x < 0)より
φ(0) = 0 でなければならない
 
φ(0) = Bcos(k･0)+Asin(k･0) = 0
Bcos0 = 0よりB = 0なので
φ(x) = Asin(kx)
 
φ(x) = Cexp(-λx) … (x > L)より
φ(L) = Cexp(-λL) でなければならない
 
φ(L) = Asin(k･L) = Cexp(-λL)
φ'(L) = kAcos(k･L) = -λCexp(-λL)
φ'(L)/φ(L) = kcot(k･L) = -λ
 
λ = -kcot(k･L)
 
k = √(2mE/ℏ²) … (E ≧ 0)
λ = √{(2m/ℏ²)(V₁ - E)} … (V₁ ≧ E)
より
k² + λ² = 2mV₁/ℏ² 
を満たす
 
 
 
■ まとめ
k = √(2mE/ℏ²) … (E ≧ 0)
λ= √{(2m/ℏ²)(V₁ - E)} … (V₁ ≧ E)
 
V(x < 0  ) = ∞
V(0≦x≦L) = 0
V(x > L  ) = V₁ ≧ E
φ(x < 0  ) = 0
φ(0≦x≦L) = Asin(kx)
φ(x > L  ) = Cexp(-λx)
λ = -kcot(k･L)
k² + λ² = 2mV₁/ℏ² 
 
 
 
■ あとがき
古典力学(大きな粒子など)では
壁の高さ以下しか飛べないエネルギーで
壁をこえる事は出来ないので
φ(x > L) = 0となるが
 
量子力学(素粒子など)では
φ(x > L) = Cexp(-λx)
となり粒子が存在する
 
粒子が壁を透過する
トンネル効果
が起こりえる