量子力学 (5回目)

2023/5/27(土)
量子力学 (5回目)
 
(Quantum mechanics)
 
今回はトンネル効果です
 
 
■ 記号
t :時間(s)
x :位置(m)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
φ(x):時間を含まない波動関数
V(x):ポテンシャルエネルギー
H :ハミルトニアン
∇:ナブラ [∇ = (∂/∂x)]
d :壁の長さ(m)
V₀:壁のポテンシャル [V₀≧Eとする]
 
時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式
[{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)
 
 
 
■ 長さ有限の壁の解
長さdの有限の壁(壁のポテンシャルV₀≧E)
 
▼ x < 0 のとき
V(x) = 0
{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)φ(x) = Eφ(x)
 
(∂²/∂x²)φ(x) = (-2mE/ℏ²)φ(x)
k = √(2mE/ℏ²) … (E ≧ 0)
と置くと
(∂²/∂x²)φ(x) = -k²φ(x)
φ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)
(代入すると成り立つ)
 
▼ 0 ≦ x ≦ dのとき
{ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)φ(x) - V(x)φ(x) = -Eφ(x)
(∂²/∂x²)φ(x) = (2m/ℏ²){V(x) - E}φ(x)
V(x) = V₀ より
 
(∂²/∂x²)φ(x) = (2m/ℏ²)(V₀ - E)φ(x)
λ = √{(2m/ℏ²)(V₀ - E)} … (V₀ ≧ E)
と置くと
(∂²/∂x²)φ(x) = λ²φ(x)
φ(x) = Cexp(λx) + Dexp(-λx)
(代入すると成り立つ)
 
▼ x > d のとき
V(x) = 0
{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)φ(x) = Eφ(x)
x < 0のとき同様にして
φ(x) = Fexp(ikx) + Gexp(-ikx)
 
 
■ 波の進行方向
正弦波の式
y = Acos(kx - ωt)
y = Asin(kx - ωt)
は右進行波を表しているので
 
波動関数
Ψ(x,t) = A{cos(kx - ωt) + isin(kx - ωt)}
= Aexp{i(kx - ωt)}
や
φ(x) = A{cos(kx) + isin(kx)} = Aexp(ikx)
も右進行波を表している
 
同様に
y = Asin{-(kx - ωt)}
は左進行波を表しているので
φ(x) = Aexp(-ikx)
も左進行波を表している
 
 
 
■ トンネル効果の透過確率T
φ(x < 0  ) = Aexp(ikx) + A'exp(-ikx)
φ(0≦x≦d) = Bexp(λx) + B'exp(-λx)
φ(x > d  ) = Cexp(ikx) + C'exp(-ikx)
について
波がx < 0の位置から右進行している場合
A exp( ikx) … 壁の左側の入射波(右進行)
A'exp(-ikx) … 壁の左側の反射波(左進行)
C exp( ikx) … 壁の右側の透過波(右進行)
となる
 
存在確率 |φ(x)|² より
透過率Tを
T = |Cexp(ikx)|² / |Aexp(ikx)|² = |C/A|² 
として計算してみる
 
▼ 境界条件(連続性の確保)を考える
φ'(x) = dφ(x)/dx
φ'(x < 0  ) = ik{Aexp(ikx) - A'exp(-ikx)}
φ'(0≦x≦d) = λ{Bexp(λx) - B'exp(-λx)}
φ'(x > d  ) = ik{Cexp(ikx) - C'exp(-ikx)}
 
x = 0のとき、φ(0)、φ'(0)より
A + A' = B + B' … ①
ik(A - A') = λ(B - B') … ②
x = dのとき、φ(d)、φ'(d)より
Bexp(λd) + B'exp(-λd) = Cexp(ikd) … ③
λ{Bexp(λd) - B'exp(-λd)} = ikCexp(ikd) … ④
 
③±④/λの1/2倍より
B = C{(1 + ik/λ)/2}exp(ikd)/exp(λd)
= C{(λ + ik)/(2λ)}exp(ikd)/exp(λd)
B'= C{(1 - ik/λ)/2}exp(ikd)/exp(-λd)
= C{(λ - ik)/(2λ)}exp(ikd)/exp(-λd)
 
B,B'を①に代入して分子分母をik倍する
A + A' = C{exp(ikd)/(2λ)}
{(λ + ik)/exp(λd) + (λ - ik)/exp(-λd)
= C{exp(ikd)/(2λ)}
{(λ + ik)exp(-λd) + (λ - ik)exp(λd)}
= C{exp(ikd)/(2ikλ)}
{(ikλ - k²)exp(-λd) + (ikλ + k²)exp(λd)}
 
B,B'を②/ikに代入する
A - A' = (λ/ik)C{exp(ikd)/(2λ)}
{(λ + ik)exp(-λd) - (λ - ik)exp(λd)}
= C{exp(ikd)/(2ikλ)}
{(λ² + ikλ)exp(-λd) - (λ² - ikλ)exp(λd)}
 
{A + A' + (A - A')}/2 = A
= C{exp(ikd)/(4ikλ)}
{(ikλ - k²)exp(-λd) + (ikλ + k²)exp(λd)}
+ C{exp(ikd)/(4ikλ)}
{(λ² + ikλ)exp(-λd) - (λ² - ikλ)exp(λd)}
= C{exp(ikd)/(4ikλ)}
{(ikλ - k²)exp(-λd) + (ikλ + k²)exp(λd)
+ (λ² + ikλ)exp(-λd) - (λ² - ikλ)exp(λd)}
= C{exp(ikd)/(4ikλ)}
{(k² + 2ikλ - λ²)exp(λd)
-(k² - 2ikλ - λ²)exp(-λd)}
= C{exp(ikd)/(4ikλ)}
{(k + iλ)²exp(λd) - (k - iλ)²exp(-λd)}
 
C/A = 4ikλexp(-ikd)/
{(k + iλ)²exp(λd) - (k - iλ)²exp(-λd)}
 
 
 
▼ 透過率T
sinh(x) = (e^x - e^-x)/2
cosh(x) = (e^x + e^-x)/2
e^x  = cosh(x) + sinh(x)
e^-x = cosh(x) - sinh(x)
e^ix  = cos(x) + isin(x)
e^-ix  = cos(-x) + isin(-x) = cos(x) - isin(x)
|e^-ix|² = √[{cos(x)}² - {isin(x)}²]² 
= cos²(x) + sin²(x) = 1
sinh²(x) - cosh²(x) = 1
|z|² = zz(ー
)|a+ib|² = (a+ib)(a-ib)
 
 
(A/C){4ikλexp(-ikd)}
= (k + iλ)²exp(λd) - (k - iλ)²exp(-λd)
= (k² + 2ikλ - λ²)exp(λd)
+ (-k² + 2ikλ + λ²)exp(-λd)
= (k²-λ²){exp(λd) - exp(-λd)}
+ 2ikλ{exp(λd) + exp(-λd)}
= 2(k²-λ²)sinh(λd) + 4ikλcosh(λd)
 
C/A
= {2ikλexp(-ikd)}
/{(k²-λ²)sinh(λd) + 2ikλcosh(λd)}
 
|C/A|² 
= |2ikλexp(-ikd)|² 
/|(k²-λ²)sinh(λd) + 2ikλcosh(λd)|² 
= |-4k²λ²|
/|(k²-λ²)sinh(λd) + 2ikλcosh(λd)|² 
= (4k²λ²)
/√[{(k²-λ²)sinh(λd)}² - {2ikλcosh(λd)}²]² 
= (4k²λ²)
/{(k²-λ²)²sinh²(λd) + 4k²λ²cosh²(λd)}
= (4k²λ²)
/{(k⁴-2k²λ²+λ⁴)sinh²(λd) + 4k²λ²cosh²(λd)}
= (4k²λ²) / {(k⁴+2k²λ²+λ⁴)sinh²(λd)
+ 4k²λ²cosh²(λd) - 4k²λ²sinh²(λd)}
 
T = (4k²λ²)/{(k² + λ²)²sinh²(λd) + 4k²λ²}
 
 
▼ k,λを元に戻す
k = √(2mE/ℏ²) … (E ≧ 0)
λ = √{(2m/ℏ²)(V₀ - E)} … (V₀ ≧ E)
 
4k²λ² 
= 4(2mE/ℏ²)(2m/ℏ²)(V₀ - E)
= (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E)
 
T = (4k²λ²)/{(k² + λ²)²sinh²(λd) + 4k²λ²}
= (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E)
/ [{(2mE/ℏ²) + (2m/ℏ²)(V₀ - E)}² 
sinh²[d√{(2m/ℏ²)(V₀ - E)}] + (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E)
= (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E) / (4m²/ℏ⁴){E + (V₀ - E)}² 
sinh²[(d/ℏ)√{2m(V₀ - E)}) + (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E)
= (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E) / (4m²/ℏ⁴)(E + V₀ - E)² 
sinh²[(d/ℏ)√{2m(V₀ - E)}) + (16m²/ℏ⁴)E(V₀ - E)
 
T
= 4E(V₀ - E)
/ [4E(V₀ - E) + V₀²sinh²[(d/ℏ)√{2m(V₀ - E)}]]
 
 
▼ E/V₀の形にする
T
= 4E(V₀ - E)
/ [4E(V₀ - E) + V₀²sinh²[(d/ℏ)√{2m(V₀ - E)}]]
= 4E/V₀²(V₀ - E)
/ [4E/V₀²(V₀ - E) + sinh²[(d/ℏ)√{2mV₀(1 - E/V₀)}]]
= 4E/V₀(1 - E/V₀)
/ [4E/V₀(1 - E/V₀) + sinh²[(d/ℏ)√{2mV₀(1 - E/V₀)}]]
 

▼ 結果(透過率T) 

r = E/V₀ 
T = 4r(1 - r)
/ [4r(1 - r) + sinh²[(d/ℏ)√{2mV₀(1 - r)}]]
 
 
▼ トンネル効果の反射率R
反射率Rは|A'/A|² または
R = 1 - T
で求められる
 
 

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