相対性理論 (1回目)

2023/5/15(月)
相対性理論 (1回目)
 
(特殊相対性理論:Special relativity theory)
 
1回目は
t = t'/√{1-(v/c)²}と
微小不変量(時空間内の微小距離)dsについて
ds² = -(cdt)² + dx² + dy² + dz² 
の導出
  
 
■ t = t'/√{1-(v/c)²} の導出

 

 
光:電車内を真上に進光とする
 
電車内から見た値
t':時間
ct':光の移動距離
v'= 0:観測者の速度
 
電車外から見た値
t:時間
v:電車の移動速度
vt:電車の移動距離
ct:光の移動距離
 
図より
(ct')² = (ct)² - (vt)² 
ct' = t√(c² - v²)
t' = t√{1 - (v/c)²}
より
t = t'/√{1-(v/c)²}
 
電車の速度vがcに近づくと
tはt'の∞倍に近づく
つまり
静止している場所のtは速く進み
移動している場所のt'はゆっくり進む
 
ただし
速度は相対的なものなので
移動しているのは加速した方
と考えられる
 
 
 
■ 微小不変量の導出
図より
(ct')² = (ct)² - (vt)² 
ここで
v' = 0なので
(ct')² - (vt')² = (ct)² - (vt)² 
も成り立つ
vt = x、vt' = x'と置き、符号を正にとると
-(ct')² + x'² = -(ct)² - x² 
これを3次元に拡大しs²と置くと
s² = -(ct)²+x²+y²+z² = -(ct')²+x'²+y'²+z'² 
微小区間で書くと
ds² = -(cdt)²+dx²+dy²+dz² = -(cdt')²+dx'²+dy'²+dz'² 
dsは時空間内の微小距離で
座標系('の有無)によらず不変なので
不変量として定義する
 
微小不変量(微小距離)
ds² = -(cdt)² + dx² + dy² + dz² 
 
 
 
■ おまけ
K系(t,x,y,z)とK'系(t,x',y',z')の
x,y,z軸の回転に対する不変量は
r² = x²+y²+z² = x'²+y'²+z'² 
となり
tを含めると上記より
s² = -(ct)²+x²+y²+z² = -(ct')²+x'²+y'²+z'² 
となる
 
また、時間軸を虚数軸にすると
微小不変量(微小距離)
ds² = -(cdt)² + dx² + dy² + dz² 
は
ds² = (cidt)² + dx² + dy² + dz² 
となり、時間軸の-を消す事ができる