相対性理論 (2回目)

2023/5/17(水)
相対性理論 (2回目)
 
(特殊相対性理論:Special relativity theory)
 
2回目は
E = mc² の導出
 
 
■ 微小不変量dτ
微小不変量
固有時間dτ(cdt>>dx,dy,dzなのでほぼ微小時間)を
前回の微小不変量dsを使用して
dτ² = -ds² = (cdt)² - dx² - dy² - dz² 
と定義する
 
 
■ 4元変位
dx = (dx₀, dx₁, dx₂, dx₃) = (cdt, dx, dy, dz)
 
■ 4元速度
4元速度を
u = (u₀, u₁, u₂, u₃) = dx/dτ
= (cdt/dτ,dx/dτ,dy/dτ,dz/dτ)
と定義する
 
dτ² = (cdt)² - dx² - dy² - dz² をdτ²で割る
1 = (cdt/dτ)²-(dx/dτ)²-(dy/dτ)²-(dz/dτ)² 
より
1 = u₀² - u₁² - u₂² - u₃² 
 
dτ² = (cdt)² - dx² - dy² - dz² を(cdt)²で割る
(dτ / cdt)² = 1-(dx / cdt)²-(dy / cdt)²-(dz / cdt)² 
= 1 - (1/c²){(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²}
= 1 - (1/c²)(v_x² + v_y² + v_z²)
= 1 - (v²/c²)
dτ / cdt = √{1 - (v/c)²}
u₀ = cdt/dτ = 1/√{1 - (v/c)²} = γ … ローレンツ係数
u₁ = dx/dτ = (cdt/dτ)(dx / cdt) = γv_x/c
 
よって
u = (u₀, u₁, u₂, u₃) = (γ, γv_x/c, γv_y/c, γv_z/c)
… (v_x/cはcに対する割合、0.5は光速の半分、無次元量)
1 = u₀² - u₁² - u₂² - u₃² 
 
 
■ 4元運動量
4元運動量を
p = (p₀, p₁, p₂, p₃) = mc(u₀, u₁, u₂, u₃)
と定義する
(γ=1のときu_i=v_i/c → p_i=mcu_i=mv_i,i=1,2,3)
 
(p₀, p₁, p₂, p₃)
= mc(γ, γv_x/c, γv_y/c, γv_z/c)
= (γmc, γmv_x, γmv_y, γmv_z)
 
1 = u₀² - u₁² - u₂² - u₃² 
(mc)² = p₀² - p₁² - p₂² - p₃² 
 
ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v²/c²)}
γ→1(v→0), γ→∞(v→c)
(ニュートン力学では運動量p(→) = mv(→) )
 
相対性理論では運動量p(→) = γmv(→) とすると
(mc)² = p₀² - p₁² - p₂² - p₃² = p₀² - |p(→)|² 
 
p₀ = √{(mc)² + |p(→)|²} = mc√{1 + |p(→)|²/(mc)²} 
 
マクローリン展開より
√(1+x²) = 1 + x²/2 - x⁴/8 + …
|x| << 1のとき
√(1+x²) ≒ 1 + x²/2
 
x² = |p(→)|²/(mc)²、|x| << 1つまり|v| << |c|なので
以下ニュートン力学の範囲
 
p₀ = mc√{1 + |p(→)|²/(mc)²}
= mc[1 + |p(→)|²/{2(mc)²}] = mc + |p(→)|²/(2mc)
p₀c = mc² + |p(→)|²/(2m)
 
ニュートン力学ではp = mvよりv = p/m
運動エネルギーK = (1/2)mv² = (1/2)m(p/m)² = p²/(2m)
より
p₀c = mc² + |p(→)|²/(2m) = mc² + K
 
v = 0のときK = 0となるので
p₀c = mc²は静止した物体のエネルギーと言える
よって
 
E = p₀c = mc² + |p(→)|²/(2m) = mc² + K … (|v| << |c|)
(E = 静止エネルギー + 運動エネルギー)
 
v = 0のとき
E = mc² 
 
mc²はKが足されているので単位はJで
v = 0なので仕事でもなく
温度が関係していないので温度でもない
止まっている質量mに関する量なので
静止エネルギーとした
 
 
■ おまけ
p(→) = γmv(→) = (p_x, p_x, p_x)
 
E = p₀cであることが分かったので
 
p₀ = √{(mc)² + |p(→)|²}より
E = p₀c = c√{(mc)² + |p(→)|²}
E² = (p₀c)² = c²{(mc)² + |p(→)|²}
E² = (mc²)² + |p(→)c|² … 近似しない式
 
▼ 光子(電磁波)
m = 0なので
E² = (mc²)² + |p(→)c|² 
E = |p(→)|c = pc = hc/λ = hν
 
プランク定数h
波長λ
ド・ブロイの方程式(物質波)p = h/λ
光の振動数ν=c/λ
 
 
▼ その他
p = (p₀, p₁, p₂, p₃)
= (γmc, γmv_x, γmv_y, γmv_z)
= (E/c, γmv_x, γmv_y, γmv_z)
= (E/c, p_x, p_x, p_x)
 
= mcu = mc(u₀, u₁, u₂, u₃)
= mc(γ, γv_x/c, γv_y/c, γv_z/c)
 
E/c = γmc
E = γmc² = mc²/√{1 - (v²/c²)}
 
 
▼ 動いているときの質量m
上記、静止質量mをm₀と置き直すと
m₀:静止質量
m = γm₀
 
ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v²/c²)}
γ→1(v→0), γ→∞(v→c)
 
p(→) = mv(→) = γm₀v(→) 
E² = (m₀c²)² + |p(→)c|² 
= (m₀c²)² + |γm₀v(→)c|²