相対性理論 (2回目)

2023/5/17(水)
相対性理論 (2回目)
 
(特殊相対性理論:Special relativity theory)
 
2回目は
E = mc2 の導出
 
 
■ 微小不変量dτ
微小不変量
固有時間dτ(cdt>>dx,dy,dzなのでほぼ微小時間)を
前回の微小不変量dsを使用して
dτ2 = -ds2 = (cdt)2 - dx2 - dy2 - dz2 
と定義する
 
 
■ 4元変位
dx = (dx0, dx1, dx2, dx3) = (cdt, dx, dy, dz)
 
■ 4元速度
4元速度を
u = (u0, u1, u2, u3) = dx/dτ
= (cdt/dτ,dx/dτ,dy/dτ,dz/dτ)
と定義する
 
dτ2 = (cdt)2 - dx2 - dy2 - dz2 をdτ2で割る
1 = (cdt/dτ)2-(dx/dτ)2-(dy/dτ)2-(dz/dτ)2 
より
1 = u02 - u12 - u22 - u32 
 
dτ2 = (cdt)2 - dx2 - dy2 - dz2 を(cdt)2で割る
(dτ / cdt)2 = 1-(dx / cdt)2-(dy / cdt)2-(dz / cdt)2 
= 1 - (1/c2){(dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt)2}
= 1 - (1/c2)(vx2 + vy2 + vz2)
= 1 - (v2/c2)
dτ / cdt = √{1 - (v/c)2}
u0 = cdt/dτ = 1/√{1 - (v/c)2} = γ … ローレンツ係数
u1 = dx/dτ = (cdt/dτ)(dx / cdt) = γvx/c
 
よって
u = (u0, u1, u2, u3) = (γ, γvx/c, γvy/c, γvz/c)
… (vx/cはcに対する割合、0.5は光速の半分、無次元量)
1 = u02 - u12 - u22 - u32 
 
 
■ 4元運動量
4元運動量を
p = (p0, p1, p2, p3) = mc(u0, u1, u2, u3)
と定義する
(γ=1のときui=vi/c → pi=mcui=mvi,i=1,2,3)
 
(p0, p1, p2, p3)
= mc(γ, γvx/c, γvy/c, γvz/c)
= (γmc, γmvx, γmvy, γmvz)
 
1 = u02 - u12 - u22 - u32 
(mc)2 = p02 - p12 - p22 - p32 
 
ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v2/c2)}
γ→1(v→0), γ→∞(v→c)
(ニュートン力学では運動量p(→) = mv(→) )
 
相対性理論では運動量p(→) = γmv(→) とすると
(mc)2 = p02 - p12 - p22 - p32 = p02 - |p(→)|2 
 
p0 = √{(mc)2 + |p(→)|2} = mc√{1 + |p(→)|2/(mc)2} 
 
マクローリン展開より
√(1+x2) = 1 + x2/2 - x4/8 + …
|x| << 1のとき
√(1+x2) ≒ 1 + x2/2
 
x2 = |p(→)|2/(mc)2、|x| << 1つまり|v| << |c|なので
以下ニュートン力学の範囲
 
p0 = mc√{1 + |p(→)|2/(mc)2}
= mc[1 + |p(→)|2/{2(mc)2}] = mc + |p(→)|2/(2mc)
p0c = mc2 + |p(→)|2/(2m)
 
ニュートン力学ではp = mvよりv = p/m
運動エネルギーK = (1/2)mv2 = (1/2)m(p/m)2 = p2/(2m)
より
p0c = mc2 + |p(→)|2/(2m) = mc2 + K
 
v = 0のときK = 0となるので
p0c = mc2は静止した物体のエネルギーと言える
よって
 
E = p0c = mc2 + |p(→)|2/(2m) = mc2 + K … (|v| << |c|)
(E = 静止エネルギー + 運動エネルギー)
 
v = 0のとき
E = mc2 
 
mc2はKが足されているので単位はJで
v = 0なので仕事でもなく
温度が関係していないので温度でもない
止まっている質量mに関する量なので
静止エネルギーとした
 
 
■ おまけ
p(→) = γmv(→) = (px, py, pz)
 
E = p0cであることが分かったので
 
p0 = √{(mc)2 + |p(→)|2}より
E = p0c = c√{(mc)2 + |p(→)|2}
E2 = (p0c)2 = c2{(mc)2 + |p(→)|2}
E2 = (mc2)2 + |p(→)c|2 … 近似しない式
 
▼ 光子(電磁波)
m = 0なので
E2 = (mc2)2 + |p(→)c|2 
E = |p(→)|c = pc = hc/λ = hν
 
プランク定数h
波長λ
ド・ブロイの方程式(物質波)p = h/λ
光の振動数ν=c/λ
 
 
▼ その他
p = (p0, p1, p2, p3)
= (γmc, γmvx, γmvy, γmvz)
= (E/c, γmvx, γmvy, γmvz)
= (E/c, px, px, px)
 
= mcu = mc(u0, u1, u2, u3)
= mc(γ, γvx/c, γvy/c, γvz/c)
 
E/c = γmc
E = γmc2 = mc2/√{1 - (v2/c2)}
 
 
▼ 動いているときの質量m
上記、静止質量mをm0と置き直すと
m0:静止質量
m = γm0
 
ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v2/c2)}
γ→1(v→0), γ→∞(v→c)
 
p(→) = mv(→) = γm0v(→) 
E2 = (m0c2)2 + |p(→)c|2 
= (m0c2)2 + |γm0v(→)c|2 


このブログの人気の投稿

NEWS

2025/1/18(土 ) N88-BASIC,Cでハノイの塔 (6回目)(C表示分離) を公開しました    2025/1/14(火) VL,NL,XL-BASIC(ver～28w5) を公開しました    2024/12/21(土 ) ハノイの塔 (3回目)  を公開しました
続きを読む

N88-BASICでゲーム (1回目)

イメージ
2021/8/16(月) N88-BASICでゲーム  (1回目) by ULproject   球同士の衝突と跳返り   大文字ベクトル、小文字スカラー 文字の後の、 'は衝突後、数字は球番号   球同士の反発係数、衝突面に水平 ,垂直u,e 球の中心位置 P,半径r,質量m,速度V 衝突面の球 1方向の法線N = (P 1 -P 2 )/|P 1 -P 2 |   球同士の衝突は、 |P 1 -P 2 | ≦ r 1 +r 2   なので √{(P 1 -P 2 )･(P 1 -P 2 )} ≦ r 1 +r 2   (P 1 -P 2 )･(P 1 -P 2 ) ≦ (r 1 +r 2 )(r 1 +r 2 ) で判断できます。   ここで、ベクトルの計算ですが、 P(i) (i=0,1,2) をPのx,y,z成分と すると、 P = P 1  - P 2 は、 P(i) = P1(i) - P2(i) (i=0,1,2) P･Pは ΣP(i)P(i) (i=0,1,2) となります   BASICでは、 P(0) = P1(0) - P2(0) P(1) = P1(1) - P2(1) P(2) = P1(2) - P2(2) D = P(0)*P(0)+P(1)*P(1)+P(2)*P(2) R = R1 + R2 IF D <= R*R THEN 重なり又は接触 となります。   反発させるときは、球が接触している 間は再び反発しないようにしないと 球が離れなくなります。   次に反発についてですが、衝突面に 水平な成分は、球の回転に関係します が、ここでは球の回転は考えずに 垂直成分と同じように反発係数で 減速させる事にします。   衝突面に垂直な成分 (v 1 は球 1の速度、v 1 'は衝突後) 運動量 p = mv 運動量保存則 p 1 +p 2 =p 1 '+ p 2 'より p 1 +p 2  = m 1 v 1 '+ m 2 v 2 ' 反発係数 e = -(v 1 '- v 2 ')/(v 1  - v 2 )より ev 1  - ev 2  = -v 1 '+ v ...
続きを読む