複素数

2023/6/3(土)
複素数
 
(Complex number)
 
複素数の積が回転を表す事を示す
 
複素数を大文字で表すとする
実軸とのなす角をα、β、γとする
 
(1)tanの加法定理を使用
 
A = a + ci、α = Tan^-1(c/a)
B = b + di、β = Tan^-1(d/b)
 
C = AB = (a + ci)(b + di)
= ab + adi + bci - cd
= ab - cd + (ad + bc)i
γ = Tan^-1{(ad + bc)/(ab - cd)}
 
γ = α+βを示す
 
tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
= (c/a + d/b) / {1 - (c/a)(d/b)}
= ab(c/a + d/b) / {ab - ab(c/a)(d/b)}
= (bc + ad) / (ab - cd)
= tanγ
よって
α+β = γ
 
または
Tan^-1u + Tan^-1v = Tan^-1{(u+v)/(1-uv)}より
α + β
= Tan^-1(c/a) + Tan^-1(d/b)
= Tan^-1[(c/a + d/b)/{1 - (c/a)(d/b)}]
= Tan^-1{(bc + ad)/(ab - cd)}
= γ
 
 
 
(2)極座標で示す
A = a(cosα + isinα)
B = b(cosβ + isinβ)
 
C = c(cosγ + isinγ)
= AB
= a(cosα + isinα)b(cosβ + isinβ)
= ab{(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)}
= ab{cos(α+β)+isin(α+β)}
よって
γ = α+β
 
 
 
(3)指数表記で示す
e^iθ = cosθ + isinθ … オイラーの公式
より
A = a(cosα + isinα) = ae^iα 
B = b(cosβ + isinβ) = ae^iβ 
C = c(cosγ + isinγ) = ce^iγ 
= AB
= ae^iαbe^iβ 
= abe^i(α+β) 
よって
γ = α+β
 
 
 
(4)ド・モアブルの定理
(cosθ + isinθ)ⁿ = (e^iθ)ⁿ 
= e^i(nθ) = cos nθ + isin nθ
よって
 
(cosθ + isinθ)ⁿ = cos nθ + isin nθ
… ド・モアブルの定理
 
 
 
(5)オイラーの公式
cosθ + isinθは複素平面上で単位円を表す
 
f(θ) = cosθ + isinθと置く
f(0) = cos0 + isin0 = 1
 
df(θ)/dθ = -sinθ + icosθ
= i(cosθ - sinθ/i) = i(cosθ + isinθ)
= i･f(θ)
df(θ)/dθ = i･f(θ)
 
{1/f(θ)}df(θ) = i･dθ
∫{1/f(θ)}df(θ) = i∫dθ
 
ln{f(θ)} = iθ + C … (lnはlog_e)
f(θ) = e^{iθ + C} 
f(0) = e^{i0 + C} = e^C = 1よりC = 0
 
f(θ) =
e^iθ = cosθ + isinθ … オイラーの公式
 
 
 
(6)因みに
e^iπ = cosπ + isinπ = -1
e^iτ = e^i2π = cos2π + isin2π = 1

(τ = 2π とする)