微分方程式 (1回目)

2023/6/19(月)
微分方程式 (1回目)
 
(Legendre differential equation)
 
ルジャンドルの微分方程式の特殊解
ルジャンドルの多項式 
 
■ 導出
▼ yを仮定
y = Σ[k=0～∞]B_kx^k と置く
 
▼ 係数B_kの関係を求める
y'= Σ[k=1～∞]kB_kx^k-1 
y"= Σ[k=2～∞]k(k-1)B_kx^k-2 
 
(1-x²)y"
= Σ[k=2～∞]k(k-1)B_kx^k-2 - Σ[k=2～∞]k(k-1)B_kx^k 
= Σ[k=0～∞](k+2)(k+1)B_k+2x^k - Σ[k=2～∞]k(k-1)B_kx^k 
= Σ[k=0～∞](k+2)(k+1)B_k+2x^k - Σ[k=0～∞]k(k-1)B_kx^k 
[ k = 0,1のときk(k-1)B_k = 0より ]
 
- 2xy'= Σ[k=1～∞](-2kB_kx^k) = Σ[k=0～∞](-2kB_kx^k)
[ k = 0のとき-2kB_k = 0より ]
 
n(n+1)y = Σ[k=0～∞]{n(n+1)B_kx^k}
 
よって
Σ[k=0～∞]
{(k+2)(k+1)B_k+2 - k(k-1)B_k -2kB_k + n(n+1)B_k}x^k = 0
 
(k+2)(k+1)B_k+2 - k(k-1)B_k -2kB_k + n(n+1)B_k = 0
B_k+2 = [{k(k-1) + 2k - n(n+1)}/{(k+2)(k+1)}]B_k 
= [{k(k+1) - n(n+1)}/{(k+2)(k+1)}]B_k 
= [{k(k+1) - n(n+1)}/{(k+2)(k+1)}]B_k 
 
(n-k)(n+k+1) = n² + nk + n - kn - k² – k
= n² + n - k² – k = -{k(k+1) - n(n+1)}
より
B_k+2 = [-(n-k)(n+k+1)/{(k+2)(k+1)}]B_k 
 
y₁(x) = Σ[m=0～∞]B_2mx^2m … (B₀ = 1, B₁ = B_2m+1 = 0)
y₂(x) = Σ[m=0～∞]B_2m+1x^2m+1 … (B₀ = B_2m = 0, B₁ = 1)
 
 
▼ y₁(x)を求める
B₀ = 1, B₁ = 0
B_k+2 = -(n-k)(n+k+1)/{(k+2)(k+1)}]B_k 
より
B₂ = {-n(n+1)/(2･1)}B₀ = -n(n+1)/(2･1)
B₄ = {-(n-2)(n+3)/(4･3)}B₂ 
= n(n-2)･(n+1)(n+3)/(4･3･2･1)
B₆ = {-(n-4)(n+5)/(6･5)}B₄ 
= -n(n-2)(n-4)･(n+1)(n+3)/(6･5･4･3･2･1)
まとめると
B_2m = (-1)^mn(n-2)…(n-2m+2)･(n+1)(n+3)…(n+2m-1)/(2m)!
n-2m+2 = 0のときB_2m = 0となるので
2m < n + 2
 
▼ y₂(x)を求める
B₀ = 0, B₁ = 1
B_k+2 = -(n-k)(n+k+1)/{(k+2)(k+1)}]B_k 
より
B₃ = {-(n-1)(n+2)/(3･2)}B₁ = -(n-1)(n+2)/(3･2)
B₅ = {-(n-3)(n+4)/(5･4)}B₃ =
= (n-1)(n-3)･(n+2)(n+4)/(5･4･3･2)
B₇ = {-(n-5)(n+6)/(7･6)}B₅ =
= -(n-1)(n-3)(n-5)･(n+2)(n+4)(n+6)/(7･6･5･4･3･2)
まとめると
B_2m+1 = (-1)^m(n-1)(n-3)…(n-2m+1)･(n+2)(n+4)…(n+2m)/(2m+1)!
n-2m+1 = 0のときB_2m-1 = 0となるので
2m+1 < n + 2
 
▼ 解
一般解
y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) … (C₁,C₂ は定数)
 
特殊解
y₁(x) = Σ[m=0～∞]B_2mx^2m … (B₀=1, B₁=B_2m+1=0, 2m ≦ n)
B_2m = (-1)^mn(n-2)…(n-2m+2)･(n+1)(n+3)…(n+2m-1)/(2m)!
 
y₂(x) = Σ[m=0～∞]B_2m+1x^2m+1 … (B₀=B_2m=0, B₁=1, 2m+1 ≦ n)
B_2m-1 = (-1)^m(n-1)(n-3)…(n-2m+1)･(n+2)(n+4)…(n+2m)/(2m+1)!
 
▼ 特殊解の具体例
n = 0 → (2m ≦ n = 0) → m = 0
B₀ = 1
y₁(x) = 1
 
n = 1 → (2m+1 ≦ n = 1) → m = 0
B₁ = 1
y₂(x) = x
 
n = 2 → (2m ≦ n = 2) → m = 0,1
B₂ = -n･(n+1)/2 = -2･3/2 = -3
y₁(x) = 1 - 3x² 
 
n = 3 → (2m+1 ≦ n = 3) → m = 0,1
B₃ = -(n-1)･(n+2)/(3･2) = -2･5/(3･2) = -5/3
y₂(x) = x – (5/3)x³ 
 
n = 4 → (2m ≦ n = 4) → m = 0,1,2
B₂ = -n･(n+1)/2 = -4･5/2 = -10
B₄ = n(n-2)･(n+1)(n+3)/(4･3･2) = 4･2･5･7/(4･3･2)
= 35/3
y₁(x) = 1 - 10x² + (35/3)x⁴ 
 
n = 5 → (2m+1 ≦ n = 5) → m = 0,1,2
B₃ = -(n-1)･(n+2)/(3･2) = -4･7/(3･2) = -14/3
B₅ = (n-1)(n-3)･(n+2)(n+4)/(5･4･3･2)
= 4･2･7･9/(5･4･3･2) = 21/5
y₂(x) = x – (14/3)x³ + (21/5)x⁵ 
 
 
▼ ルジャンドル多項式P_n(x)を求める
P_n(x)はy₁(1) = y₂(1) = 1となる様に
定数倍したもの
 
y₁(x) = 1
P₀(x) = 1
 
y₂(x) = x
P₁(x) = x
 
y₁(x) = 1 - 3x² 
P₂(x) = (-1/2)(1 - 3x²) = (3/2)|x² - (1/3)}
= (3･1)/(2･1){x² - (2･1)/(2･3)}
 
y₂(x) = x – (5/3)x³ 
P₃(x) = (-3/2){x – (5/3)x³}
= (5/2){x³ - (3/5)x}
= (5･3･1)/(3･2･1){x³ - (3･2)/(2･5)x}
 
y₁(x) = 1 - 10x² + (35/3)x⁴ 
P₄(x) = (3/8){1 - 10x² + (35/3)x⁴}
= (35/8){x⁴ - (30/35)x + (3/35)}
= (35/8){x⁴ - (6/7)x + (3/35)}
= (7･5･3･1)/(4･3･2･1)
{x⁴ - (4･3)/(2･7)x + (4･3･2･1)/(2･4･7･5)}
 
y₂(x) = x – (14/3)x³ + (21/5)x⁵ 
P₅(x) = (15/8){x – (14/3)x³ + (21/5)x⁵}
= (63/8){x⁵ – (70/63)x³ + (15/63)x}
= (63/8){x⁵ – (10/9)x³ + (5/21)x}
= (9･7･5･3･1)/(5･4･3･2･1)
{x⁵ - (5･4)/(2･9)x³ + (5･4･3･2)/(2･4･9･7)x}
 
 
P₀(x) = 1
P₁(x) = x
P₂(x) = (3･1)/(2･1){x² - (2･1)/(2･3)}
P₃(x) = (5･3･1)/(3･2･1){x³ - (3･2)/(2･5)x}
P₄(x) = (7･5･3･1)/(4･3･2･1)
{x⁴ - (4･3)/(2･7)x + (4･3･2･1)/(2･4･7･5)}
P₅(x) = (9･7･5･3･1)/(5･4･3･2･1)
{x⁵ - (5･4)/(2･9)x³ + (5･4･3･2)/(2･4･9･7)x}
 
2･4を考える
B₄ = n(n-2)･(n+1)(n+3)/(4･3･2) = 4･2･5･7/(4･3･2)
B₅ = (n-1)(n-3)･(n+2)(n+4)/(5･4･3･2)
n = 4, r = 2
n(n-2)  = 4･2
n = 5, r = 2
(n-1)(n-3) = 4･2
n = 6,7, r = 3
n(n-2)(n-4) = 6･4･2
n = 8,9, r = 4
8･6･4･2 = 2⁴(4･3･3･1)
= 2^rr!
 
P_n(x) = {(2n-1)(2n-3)…3･1/n!}
[xⁿ 
- {n(n-1)/{2(2n-1)}}x^n-2 
+ {n(n-1)(n-2)(n-3)/{2･4･(2n-1)(2n-3)}}x^n-4 
+ … ]
=
{(2n-1)(2n-3)…3･1/n!}[xⁿ 
- {n(n-1)/{2(2n-1)}}x^n-2 
+ {n(n-1)(n-2)(n-3)/{2･4･(2n-1)(2n-3)}}x^n-4 
+ (-1)^r{n(n-1)…(n-2r+1)}
/ {2^rr!･(2n-1)(2n-3)…(2n-2r+1)}}x^n-2r …]
 
(2n-2r)…2･1 = (2n-2r)!
(2n-2r)…4･2 = 2^n-r(n-r)!
(2n-2r-1)…3･1 = (2n-2r)!/{2^n-r(n-r)!}
n(n-1)(n-2)…(n-2r+1) = n!/(n-2r)!
 
(-1)^r[{(2n-1)(2n-3)…3･1/n!}{n(n-1)…(n-2r+1)}
/ {2^rr!･(2n-1)(2n-3)…(2n-2r+1)}]x^n-2r 
= (-1)^r[{(2n-2r-1)…3･1}{n(n-1)…(n-2r+1)}
/ (2^rr!n!)]x^n-2r 
= (-1)^r[(2n-2r)!n!/{2^rr!n!2^n-r(n-r)!(n-2r)!}]x^n-2r 
= (-1)^r[(2n-2r)!/{2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}]x^n-2r 
 
n-2r ≧ 0より
0≦ r ≦ [n/2] … []はガウス記号
なので
 
P_n(x) = Σ{r=0～[n/2]}
{{(-1)^r(2n-2r)!}/{2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}}x^n-2r 
 
 
 
▼ ロドリゲス(Rodrigues)の公式
ルジャンドル多項式
P_n(x)
= Σ{r=0～[n/2]}
{{(-1)^r(2n-2r)!}/{2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}}x^n-2r 
= (1/2ⁿ)Σ{r=0～[n/2]}
[(-1)^r(2n-2r)!/{r!(n-r)!(n-2r)!}]x^n-2r 
= (1/2ⁿ)Σ{r=0～[n/2]}
[(-1)^r/{r!(n-r)!}]{(2n-2r)!/(n-2r)!}x^n-2r 
 
ここで
(dⁿ/dxⁿ)x^2n-2r = (2n-2r)(2n-2r-1)…(2n-2r-n+1)x^n-2r 
= (2n-2r)(2n-2r-1)…(n-2r+1)x^n-2r 
= {(2n-2r)!/(n-2r)!}x^n-2r 
より
 
(1/2ⁿ)Σ{r=0～[n/2]}
[(-1)^r/{r!(n-r)!}]{(2n-2r)!/(n-2r)!}x^n-2r 
= (1/2ⁿ)Σ{r=0～[n/2]}[(-1)^r/{r!(n-r)!}](dⁿ/dxⁿ)x^2n-2r 
 
r = [n/2]～nの時
2n-2r ≦ n-1となりx^2n-2rをn回微分すると0になる
(dⁿ/dxⁿ)x^2n-2r = 0 … r = [n/2]～n
よって
 
(1/2ⁿ)Σ{r=0～[n/2]}[(-1)^r/{r!(n-r)!}](dⁿ/dxⁿ)x^2n-2r 
= (1/2ⁿ)(dⁿ/dxⁿ)Σ[r=0～n][(-1)^r/{r!(n-r)!}]x^2n-2r 
 
nCr = n!/{r!(n-r)!}と
(a²-b)ⁿ = Σ[r=0～n](nCr)a^2(n-r)･bⁿ より
 
(1/2ⁿ)(dⁿ/dxⁿ)Σ[r=0～n][(-1)^r/{r!(n-r)!}]x^2n-2r 
= {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ)Σ[r=0～n][(-1)^r･n!/{r!(n-r)!}]x^2n-2r 
= {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ)Σ[r=0～n](nCr)x^2n-2r(-1)^r 
= {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ){(x²-1)ⁿ}
 
P_n(x) = {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ){(x²-1)ⁿ}
これをロドリゲスの公式という
 
よって
ルジャンドルの微分方程式
(d/dx){(1-x²)(dy/dx)} + n(n+1)y = 0
を展開
(1-x²)y" - 2xy' + n(n+1)y = 0
の特殊解
P_n(x)
= Σ{r=0～[n/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}}x^n-2r … (ルジャンドル多項式)
= {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ){(x²-1)ⁿ} … (ロドリゲスの公式)
 
 
■ 結果
▼ ルジャンドルの微分方程式
(d/dx){(1-x²)(dy/dx)} + n(n+1)y = 0
を展開
(1-x²)y" - 2xy' + n(n+1)y = 0
 
▼ 特殊解
ルジャンドル多項式
P_n(x)
= Σ{r=0～[n/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}}x^n-2r 
 
= {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ){(x²-1)ⁿ} … (ロドリゲスの公式)
 
(n ≧ 0, n ∈ Z)