微分方程式 (2回目)

2023/6/21(水)
微分方程式 (2回目)
 
(associated Legendre differential equation)
 
ルジャンドルの陪微分方程式の特殊解
ルジャンドルの陪多項式 
 
■ 導出
▼ m,n
0 ≦ m ≦ n, m,n∈Z
で考える
 
▼ 式変形
y = (1-x²)^m/2u(x)と置く
y'= (1-x²)^m/2u' - mx(1-x²)^m/2-1u
y"= (1-x²)^m/2u" - mx(1-x²)^m/2-1u'
- mx(1-x²)^m/2-1u'
+ {mx²(m-2)(1-x²)^m/2-2 - m(1-x²)^m/2-1}u
= (1-x²)^m/2u" - 2mx(1-x²)^m/2-1u'
+ m(1-x²)^m/2-2{x²(m-2) - (1-x²)}u
= (1-x²)^m/2u" - 2mx(1-x²)^m/2-1u'
+ m(1-x²)^m/2-2{mx² - 2x – 1 - x² + 2x}u
= (1-x²)^m/2u" - 2mx(1-x²)^m/2-1u' + m(1-x²)^m/2-2{(m-1)x² – 1}u
 
A = (1-x²)^m/2、B = (1-x²)と置き
y = Au
y'= Au' - mxB^-1Au
y"= Au" - 2mxB^-1Au' + mB^-2A{(m-1)x² – 1}u
を
(1-x²)y" - 2xy' + {n(n+1) – m²/(1-x²)}y = 0
に代入
 
B[Au" - 2mxB^-1Au' + mB^-2A{(m-1)x² – 1}u]
- 2x(Au' - mxB^-1Au) + {n(n+1) – m²B^-1}Au = 0
 
BAu" - 2mxAu' + mB^-1A{(m-1)x² – 1}u
- 2xAu' + 2x²mB^-1Au + {n(n+1) – m²B^-1}Au = 0
 
Bu" – 2(m+1)xu'
+ {mB^-1(m-1)x² – mB^-1 + 2x²mB^-1 + n(n+1) – m²B^-1}u = 0
 
Bu" – 2(m+1)xu'
+ {n(n+1) + (mx² - x² - 1 + 2x² – m)mB^-1}u = 0
 
Bu" – 2(m+1)xu' + [n(n+1) - {m(1-x²) + 1-x²}mB^-1]u = 0
 
(1-x²)u" – 2(m+1)xu' + {n(n+1) – m(m+1)}u = 0
 
 
▼ ルジャンドルの微分方程式
(1-x²)y" - 2xy' + n(n+1)y = 0
ルジャンドルの関数P_n(x) [n∈Z]
は、特殊解なので
(1-x²)P_n" - 2xP_n' + n(n+1)P_n = 0
が成立する
 
これをm回微分する
1回(1-x²)P_n"'-(1+1)2xP_n"+{n(n+1)–2}P_n' = 0
2回(1-x²)P_n""-(1+2)2xP_n"'+{n(n+1)–2(1+2)}P_n" = 0
3回(1-x²)P_n""'-(1+3)2xP_n""+{n(n+1)–2(1+2+3)}P_n"' = 0
…
m回
(1-x²)P_n^(m+2) -(1+m)2xP_n^(m+1)+{n(n+1)–2(1+2+…+m)}P_n^(m) = 0
 
m階微分
(1-x²)(d²/dx²)(d^m/dx^m)P_n - 2(m+1)(d/dx)(d^m/dx^m)P_n 
+ {n(n+1) – m(m+1)}(d^m/dx^m)P_n = 0
を
(1-x²)u" – 2(m+1)xu' + {n(n+1) – m(m+1)}u = 0
と比較して
u(x) = (d^m/dx^m)P_n(x)
と
y(x) = (1-x²)^m/2u(x)
より
y(x) = (1-x²)^m/2(d^m/dx^m)P_n(x)
よって
P_n^m(x) = (1-x²)^m/2(d^m/dx^m)P_n(x)
(ルジャンドル陪多項式)
 
P_n^m(x)の最高次数はn次なのでm > nのとき
P_n^m(x) = 0なのでm ≦ n
 
 
▼ ルジャンドル陪多項式
ルジャンドルの微分方程式
(d/dx){(1-x²)(dy/dx)} + n(n+1)y = 0
(1-x²)y" - 2xy' + n(n+1)y = 0
の特殊解
ルジャンドルの多項式(ロドリゲスの公式)
P_n(x) = {1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ){(x²-1)ⁿ}
= Σ{r=0～[n/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}}x^n-2r … (ルジャンドル多項式)
 
ルジャンドル陪多項式(ロドリゲスの公式)
P_n^m(x) = (1-x²)^m/2(d^m/dx^m)P_n(x)
= (1-x²)^m/2(d^m/dx^m)[{1/(2ⁿn!)}(dⁿ/dxⁿ){(x²-1)ⁿ}]
= {1/(2ⁿn!)}(1-x²)^m/2(d^n+m/dx^n+m){(x²-1)ⁿ}
 
(d^m/dx^m)x^n-2r 
= (n-2r)(n-2r-1)…(n-2r-m+1)x^n-2r-m 
= {(n-2r)!/(n-2r-m)!}x^n-2r-m 
n-2r-m ＜ 0のときは0になるので
n-2r-m ≧ 0の場合のみ考えると
0≦ r ≦ (n-m)/2
 
P_n^m(x) = (1-x²)^m/2(d^m/dx^m)P_n(x)
= (1-x²)^m/2(d^m/dx^m)Σ{r=0～[n/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!}}x^n-2r 
= (1-x²)^m/2Σ{r=0～[(n-m)/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!(n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r)!(n-2r-m)!}}x^n-2r-m 
= (1-x²)^m/2Σ{r=0～[(n-m)/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r-m)!}}x^n-2r-m … (ルジャンドル多項式)
 
 
■ 結果
▼ ルジャンドルの陪微分方程式
(d/dx){(1-x²)(dy/dx)} + [n(n+1) – m²/(1-x²)]y = 0
を展開
(1-x²)y" - 2xy' + {n(n+1) – m²/(1-x²)}y = 0
 
▼ 特殊解
ルジャンドルの陪多項式
P_n^m(x)
= (1-x²)^m/2Σ{r=0～[(n-m)/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r-m)!}}x^n-2r-m 
 
= {1/(2ⁿn!)}(1-x²)^m/2(d^n+m/dx^n+m){(x²-1)ⁿ} … (ロドリゲスの公式)
 
(0 ≦ m ≦ n, m,n∈Z]