微分方程式 (3回目)

2023/6/23(金)
微分方程式 (3回目)
 
(associated Laguerre differential equation)
 
ラゲールの陪微分方程式の特殊解
ラゲールの陪多項式
 
 
■ 導出
▼ ラゲールの微分方程式
xy" + (1-x)y' + ny = 0
 
y(x) = Σ[m=0～∞]a_mx^m 
と仮定し
xy" + (1-x)y' + ny = 0
に代入すると
xΣ[m=2～∞]a_mm(m-1)x^m-2 + (1-x)Σ[m=1～∞]a_mmx^m-1 
+ nΣ[m=0～∞]a_mx^m = 0
 
Σ[m=1～∞]a_m+1(m+1)mx^m + Σ[m=0～∞]a_m+1(m+1)x^m 
- Σ[m=1～∞]a_mmx^m + Σ[m=0～∞]a_mnx^m = 0
 
(a₁ + a₀n) + Σ[m=1～∞]
{a_m+1(m+1)m + a_m+1(m+1) - a_mm + a_mn}x^m = 0
より
a₁ + na₀ = 0
(m² + 2m + 1)a_m+1 + (n-m)a_m = 0
漸化式にすると
a₁ = -na₀ 
a_m+1 = -{(n-m)/(m+1)²}a_m 
この式はm = 0のときa₁ = -na₀ となり
m = nのときから次の係数が0になるので
m ≦ nより
 
a_m+1 = -{(n-m)/(m+1)²}a_m … (m = 0～n)
 
任意のa₀のときのa_mはa₀=1のときの任意倍に
なるだけなのでa₀=1で考えると
 
a_m = (-1)^m{n(n-1)…(n-m+1)/(1²2²…m²)}
= (-1)^m(n!)/{(n-m)!(m!)²}
 
nCm = n!/{(n-m)!m!}
より
 
(-1)^m(n!)/{(n-m)!(m!)²}
= (-1)^m(nCm)(1/m!)
 
a_m = (-1)^m(nCm)(1/m!)
m = n(最高次数)のとき
a_n = (-1)ⁿ(1/n!)
なのでa_n = ±1になるように
n!するとする(任意倍しても解になるため)
 
ラゲールの多項式
L_n(x) = Σ[m=0～n](-1)^m(nCm)(1/m!)x^m 
または
L_n(x) = n!Σ[m=0～n](-1)^m(nCm)(1/m!)x^m 
= n!Σ[m=0～n](-1)^m(nCm)(1/m!)x^m 
= Σ[m=0～n](-1)^m{n!n!/{(n-m)!m!m!}}x^m 
= Σ[m=0～n](-1)^m{(n!)²/{(m!)²(n-m)!}}x^m 
 
 
▼ ラゲールの多項式(ロドリゲスの公式)
(d^n-m/dx^n-m)xⁿ = n(n-1)…{n-(n-m)+1}x^n-(n-m) 
= n(n-1)…(m+1)x^m より
(d^n-m/dx^n-m)x^n-m = n(n-1)…(m+1)
L_n(x)
= n!Σ[m=0～n](-1)^m(nCm)(1/m!)x^m 
= e^xΣ[m=0～n]nCm(n!/m!)x^m(-1)^me^-x 
= e^xΣ[m=0～n]nCm{n(n-1)…(m+1)}x^m(-1)^me^-x 
= e^xΣ[m=0～n]nCm{(d^n-m/dx^n-m)x^n-mx^m}(-1)^me^-x 
= e^xΣ[m=0～n]nCm{(d^n-m/dx^n-m)xⁿ}{(d^m/dx^m)e^-x}
 
ここで
(fg)' = f'g + fg'
(fg)" = f"g + f'g' + f'g' + fg"
= f"g + 2f'g' + fg"
(fg)"' = f"'g + f"g' + 2f"g' + 2f'g" + f'g" + fg"'
= f"'g + 3f"g' + 3f'g" + fg"'
(fg)⁽ⁿ⁾ = Σ[m=0～n](nCm)f^(m)g^(n-m)
… ライプニッツの公式
より
 
e^xΣ[m=0～n]nCm{(d^n-m/dx^n-m)xⁿ}{(d^m/dx^m)e^-x}
= e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)
 
L_n(x)
= Σ[m=0～n](-1)^m{(n!)²/{(m!)²(n-m)!}}x^m 
(ラゲールの多項式)
= e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)
(ロドリゲスの公式)
 
 
▼ ラゲールの陪微分方程式
xy" + (k+1-x)y' + (n-k)y = 0
 
xy" + (1-x)y' + ny = 0を
1回微分すると
{xy"'+ y"} + {(1-x)y" - y'}+ ny' = 0
xy"'+ (1+1-x)y" + (n-1)y' = 0
k回微分すると
xy^(2+k) + (k+1-x)y^(1+k) + (n-k)y^(k) = 0
よって
ラゲールの陪多項式(ロドリゲスの公式)
L_n^k(x) = (d^k/dx^k)L_n(x)
= (d^k/dx^k){e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)}
 
よって
ラゲールの陪多項式は
(d^k/dx^k)x^m = m(m-1)…(m-k+1)x^m-k 
= {m!/(m-k)!}x^m-k 
m – k ＜ 0 のとき0になるので
m – k ≧ 0のときのみ考えると
m ≧ kとなる
 
m = 0～nより
r = m – k = -k～n-k
r = m – k = 0～n-k (m ≧ kより)
m = r + k
と置き、rをmで置きなおすと
m = 0～n-k としてmをm+kで置きなおす
 
L_n^k(x) = (d^k/dx^k)L_n(x)
= (d^k/dx^k)Σ[m=0～n](-1)^m{(n!)²/{(m!)²(n-m)!}}x^m 
= Σ[m=0～n](-1)^m{ m!(n!)²/{(m-k)!(m!)²(n-m)!}}x^m-k 
= Σ[m=0～n](-1)^m{(n!)²/{(m-k)!(m!)(n-m)!}}x^m-k 
= Σ[m=0～n-k](-1)^m+k{(n!)²/{m!(m+k)!{n-(m+k))!}}x^m 
L_n^k(x)
= (-1)^kΣ[m=0～n-k](-1)^m{(n!)²/{m!(m+k)!(n-m-k)!}}x^m 
(ラゲールの陪多項式)
n ≧ k ≧ 0
 
 
▼ ラゲールの陪多項式(ロドリゲスの公式)
(fg)⁽ⁿ⁾ = Σ[m=0～n](nCm)f^(m)g^(n-m)
… ライプニッツの公式より(上記解説)
 
Σ[m=0～n]nCm{(d^m/dx^m)xⁿ}{(d^n-m/dx^n-m)e^-x}
= (dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)
(d^n-m/dx^n-m)xⁿ = n(n-1)…{n-(n-m)+1}x^n-(n-m)
= n(n-1)…(m+1)x^m = {n!/m!}x^m 
(d^m/dx^m)xⁿ = n(n-1)…(n-m+1)}x^n-m 
= {n!/(n-m)!}x^n-m 
(d^k/dx^k)x^n-m+k = (n-m)(n-m-1)…(n-m-k+1)x^n-m-k 
= {(n-m)!/(n-m-k)!}x^n-m-k 
(d^m/dx^m)x^n-k = (n-k)(n-k-1)…(n-m-k+1)x^n-m-k 
= {(n-k)!/(n-m-k)!}x^n-m-k 
を使って
 
L_n^k(x) = (d^k/dx^k)L_n(x)
= (d^k/dx^k){e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)}
= (d^k/dx^k){e^xΣ[m=0～n]nCm{(d^m/dx^m)xⁿ}(d^n-m/dx^n-m)e^-x}
= (d^k/dx^k){e^xΣ[m=0～n]nCm{(d^m/dx^m)xⁿ}(-1)^n-me^-x}
= (d^k/dx^k){Σ[m=0～n]n!/{(n-m)!m!}(-1)^n-m(d^m/dx^m)xⁿ}
= (d^k/dx^k){Σ[m=0～n]n!²/{(n-m)!²m!}(-1)^n-mx^n-m}
= Σ[m=0～n]n!²/{(n-m)!²m!}(-1)^n-m(d^k/dx^k)x^n-m 
= Σ[m=0～n]n!²/{(n-m)!m!(n-m-k)!}x^n-m-k(-1)^n-m 
= e^xΣ[m=0～n]n!²/{(n-m)!m!(n-m-k)!}x^n-m-k(-1)^n-me^-x 
= e^xΣ[m=0～n]n!²(n-k)!/{(n-k)!(n-m)!m!(n-m-k)!}
x^n-m-k(-1)^n-me^-x 
= e^xΣ[m=0～n]n!²/{(n-k)!(n-m)!m!}
{(d^m/dx^m)x^n-k}{(d^n-m/dx^n-m)e^-x}
= e^xΣ[m=0～n]nCm{n!/(n-k)!}{(d^m/dx^m)x^n-k}{(d^n-m/dx^n-m)e^-x}
= {n!/(n-k)!}e^xΣ[m=0～n]nCm{(d^m/dx^m)x^n-k}{(d^n-m/dx^n-m)e^-x}
= {n!/(n-k)!}e^x(dⁿ/dxⁿ)(x^n-ke^-x)
 
L_n^k(x) = (d^k/dx^k)L_n(x) = (d^k/dx^k){e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)}
= {n!/(n-k)!}e^x(dⁿ/dxⁿ)(x^n-ke^-x)
 
 
■ 結果
▼ ラゲールの微分方程式
k = 0のとき
xy" + (1-x)y' + ny = 0
 
▼ 特殊解
ラゲールの多項式
L_n(x)
= Σ[m=0～n](-1)^m{(n!)²/{(m!)²(n-m)!}}x^m 
 
= e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x) … (ロドリゲスの公式)
 
(n ≧ 0, n∈Z)
 
▼ ラゲールの陪微分方程式
xy" + (k+1-x)y' + (n-k)y = 0
 
▼ の特殊解
ラゲールの陪多項式
L_n^k(x)
= (-1)^kΣ[m=0～n-k](-1)^m{(n!)²/{m!(m+k)!(n-m-k)!}}x^m 
 
= (d^k/dx^k){e^x(dⁿ/dxⁿ)(xⁿe^-x)} … (ロドリゲスの公式)
= {n!/(n-k)!}e^x(dⁿ/dxⁿ)(x^n-ke^-x)
 
(n ≧ k ≧ 0, n,k∈Z)