極座標 (1回目)

2023/6/5(月)
極座標 (1回目)
 
極座標表示、ヤコビアン、ナブラ∇
の導出
 
■ 導出
▼ P(x,y,z)の極座標表示
 

 

 

図1. P(x,y,z)の極座標表示と微小体積
 
▼ P(x,y,z)の極座標表示の導出
図1より
z = rcosθ , s = rsinθ = √(x²+y²)
x = scosφ , y = ssinφ
より
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
 
r = √(x²+y²+z²)
θ= Tan^-1{√(x²+y²)/z}
φ= Tan^-1(y/x)
 
▼ ヤコビアンの導出
微小体積dV = dxdydz = dr･rdθ･rsinθdφ
= r²sinθdrdθdφ
より
r²sinθ … (ヤコビアン)
 
▼ 微分公式
u = tant = sint/cost
(d/dt)(1/cost) = sint/cos²t
du/dt = sin²t/cos²t + cost/cost
= tan²t + 1
t = Tan^-1u
dt/du = 1 / {tan²t + 1} = 1/(u²+1)
 
▼ ナブラ∇の導出
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
 
∂/∂x
= (∂r /∂x)(∂/∂r )
+ (∂θ/∂x)(∂/∂θ)
+ (∂φ/∂x)(∂/∂φ)
 
 
r = √(x²+y²+z²)
より
∂r/∂x = 2x(1/2)/√(x²+y²+z²) = x/r
なので
∂r/∂x = x/r = sinθcosφ
∂r/∂y = y/r = sinθsinφ
∂r/∂z = z/r = cosθ
 
 
θ= Tan^-1{√(x²+y²)/z}
より
∂θ/∂x = (1/z)2x(1/2)/√(x²+y²) /{(x²+y²)/z²+1}
= x/{z√(x²+y²)(x²+y²+z²)/z²} = zx/{r²√(x²+y²)}
= rcosθrsinθcosφ/(r³sinθ) = cosθcosφ/r
なので
∂θ/∂x = cosθcosφ/r
∂θ/∂y = cosθsinφ/r
また
∂θ/∂z = -√(x²+y²)/z² /{(x²+y²)/z²+1}
= -√(x²+y²)/{z²(x²+y²+z²)/z²}
= -rsinθ/r² = -sinθ/r
なので
∂θ/∂z = -sinθ/r
 
φ= Tan^-1(y/x)
より
∂φ/∂x = -y/x² /{(y²/x²) + 1}
= -y/{x²(x²+y²)/x²)} = -y/(x²+y²)
= -rsinθsinφ/(r²sin²θ)
= -sinφ/(rsinθ)
 
∂φ/∂y = 1/x /{(y²/x²) + 1}
= 1/{x(x²+y²)/x²)} = x/(x²+y²)
= rsinθcosφ/(r²sin²θ)
= cosφ/(rsinθ)
 
∂φ/∂z = 0
 
以上をまとめると
∇ =
|∂/∂x|
|∂/∂y|
|∂/∂z|
=
|∂r/∂x ∂θ/∂x ∂φ/∂x||∂/∂r |
|∂r/∂y ∂θ/∂y ∂φ/∂y||∂/∂θ|
|∂r/∂z ∂θ/∂z ∂φ/∂z||∂/∂φ|
=
|sinθcosφ cosθcosφ/r -sinφ/(rsinθ)||∂/∂r |
|sinθsinφ cosθsinφ/r  cosφ/(rsinθ)||∂/∂θ|
|cosθ      -sinθ/r      0             ||∂/∂φ|
 
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
 
r = √(x²+y²+z²)
θ= Tan^-1{√(x²+y²)/z}
φ= Tan^-1(y/x)
 
 
■ 結果
▼ 極座標表記
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
 
r = √(x²+y²+z²)
θ= Tan^-1{√(x²+y²)/z}
φ= Tan^-1(y/x)
 
▼ ヤコビアン(Jacobian)
微小体積
dV = dxdydz = r²sinθdrdθdφ
r²sinθ … (ヤコビアン)
 
▼ ナブラ(Nabla)∇
∇ =
|∂/∂x|
|∂/∂y|
|∂/∂z|
=
|∂r/∂x ∂θ/∂x ∂φ/∂x||∂/∂r |
|∂r/∂y ∂θ/∂y ∂φ/∂y||∂/∂θ|
|∂r/∂z ∂θ/∂z ∂φ/∂z||∂/∂φ|
=
|sinθcosφ cosθcosφ/r -sinφ/(rsinθ)||∂/∂r |
|sinθsinφ cosθsinφ/r  cosφ/(rsinθ)||∂/∂θ|
|cosθ      -sinθ/r      0             ||∂/∂φ|