クリストッフェル記号 (3回目)

2023/7/12(水)
クリストッフェル記号 (3回目)
 
(Christoffel symbols)
 
■ 定義
▼ 表記
以後、ベクトルは太字で表し
 
ナブラ∇ = (∂/∂x¹,∂/∂x²,∂/∂x³)を
∇_β = (∂/∂x^β)と書く事にする
反辺ベクトル
V = (V¹,V²,V³) = V¹e₁ + V²e₂ + V³e₃ 
= Σ[α=1,2,3]V^αe_α = V^αe_α 
(基底ベクトルe_α)
(上付きはべき乗ではなく添字です)
(アインシュタインの縮約でΣ記号を省略)
 
▼ 反変ベクトルV の共変微分_β∇V 
クリストッフェル記号Γ^γ_αβ を使って
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α と置く
 
∇_βV = (∂/∂x^β)V 
= (∂/∂x^β)(V^αe_α)
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^α{(∂/∂x^β)e_α}
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^αΓ^γ_αβe_γ
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^γΓ^α_γβe_α … (添字の入替え)
= {(∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ}e_α 
つまり
∇_βV = (∂/∂x^β)V = (∂/∂x^β)(V^αe_α)
= {(∂/∂x^β)V^α + Γ^α_γβV^γ}e_α 
 
Γ^γ_αβe_γのe_γのない定義を導出する
 
■ 導出
▼ クリストッフェルの第一種記号
g_ij:Xⁱ系での計量
g(_)_mn:X'ⁱ系(デカルト座標系、通常のx,y,z座標)での計量
g(_)_mn = δ_mn … (クロネッカーのデルタ)
δ_mn = (1 if m＝n, 0 if m≠n)
 
g_ij = (∂X'^m/∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^j)g(_)_mn 
 
(∂/∂X^k)g_ij = (∂/∂X^k){(∂X'^m/∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^j)g(_)_mn}
= g(_)_mn(∂/∂X^k){(∂X'^m/∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^j)}
+{(∂X'^m/∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^j)}{(∂/∂X^k)g(_)_mn}
= g(_)_mn(∂/∂X^k){(∂X'^m/∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^j)}
= g(_)_mn[{(∂/∂X^k)(∂X'^m/∂Xⁱ)}(∂X'ⁿ/∂X^j)
+ (∂X'^m/∂Xⁱ){(∂/∂X^k)(∂X'ⁿ/∂X^j)}]
= g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^k)(∂X'ⁿ/∂X^j)
+ (∂X'^m/∂Xⁱ)(∂²X'ⁿ/∂X^j∂X^k)}
 
ここで
A = g(_)_mn{(∂²X'^m/∂X^k∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^j)}
B = g(_)_mn{(∂²X'ⁿ/∂X^j∂X^k)(∂X'^m/∂Xⁱ)}
C = g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^k)}
g_mn = g_nmより(mとnは入替えても同じ)
と置いて添え字を入れ替えたものをつくる
 
∂g_ij/∂X^k = g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^k)(∂X'ⁿ/∂X^j)
+ (∂X'^m/∂Xⁱ)(∂²X'ⁿ/∂X^j∂X^k)} = A + B
∂g_jk/∂Xⁱ = g(_)_mn{(∂²X'^m/∂X^j∂Xⁱ)(∂X'ⁿ/∂X^k)
+ (∂X'^m/∂X^j)(∂²X'ⁿ/∂X^k∂Xⁱ)} = C + A
∂g_ki/∂X^j = g(_)_mn{(∂²X'^m/∂X^k∂X^j)(∂X'ⁿ/∂Xⁱ)
+ (∂X'^m/∂X^k)(∂²X'ⁿ/∂Xⁱ∂X^j)} = B + C
 
(C+A)+(B+C)-(A+B) = 2C
= (∂g_jk/∂X^j)+(∂g_ki/∂X^j)-(∂g_ki/∂X^j)
C = (1/2){(∂g_jk/∂Xⁱ)+(∂g_ki/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^k)}
これをクリストッフェルの第一種記号Γ_kij と定義する
Γ_kij 
= (1/2){(∂g_jk/∂Xⁱ)+(∂g_ki/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^k)}
= g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^k)}
 
▼ クリストッフェルの第二種記号
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij と定義する
 
g^ka = (∂X^k/∂X'^u)(∂X^a/∂X'^v)g(_)^uv 
 
Γ_aij = g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^a)}
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij 
= g^ka[g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^a)}]
= (∂X^k/∂X'^u)(∂X^a/∂X'^v)g(_)^uvg(_)_mn 
(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^a)
= (∂X^k/∂X'^u)g(_)^uvg(_)_mn 
(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^a)(∂X^a/∂X'^v)
= (∂X^k/∂X'^u)g(_)^uvg(_)_mn(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X'^v)
= (∂X^k/∂X'^u)g(_)^uvg(_)_mn(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)δ_nv 
= (∂X^k/∂X'^u)g(_)^uvg(_)_mv(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)
= (∂X^k/∂X'^u)δ^u_m(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)
= (∂X^k/∂X'^m)(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)
= (∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X^k/∂X'^m)
 
Γ_kij 
= (1/2){(∂g_jk/∂Xⁱ)+(∂g_ki/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^k)}
= g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^k)}
 
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij 
= (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
= (∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X^k/∂X'^m)
 
 
■ 結果
▼ 定義
g_ij:Xⁱ系での計量
g(_)_mn:X'ⁱ系(デカルト座標系、通常のx,y,z座標)での計量
g(_)_mn = δ_mn … (クロネッカーのデルタ)
δ_mn = (1 if m＝n, 0 if m≠n)
 
▼ クリストッフェルの第一種記号
Γ_kij 
= g(_)_mn{(∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X'ⁿ/∂X^k)}
= (1/2){(∂g_jk/∂Xⁱ)+(∂g_ki/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^k)}
 
▼ クリストッフェルの第二種記号
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij 
= (∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X^k/∂X'^m)
= (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}