ポアソン方程式 (1回目)

2023/7/24(月)
ポアソン方程式 (1回目)
 
(Poisson's equation)
 
電場のポアソン方程式の導出
 
■ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
ρ :電荷密度(総量Q:電荷)
ε₀:真空中の誘電率
φ :静電ポテンシャル
E  :電場
r  :原点からの距離(r = |r|)
 
dS = n･dS … (n:面Sの法線ベクトル)
Sは体積Vの表面積(∂V)とする
 
 
■ 導出
▼ 電場Eとポテンシャルφの関係
力
F = qE = {1/(4πε₀)}(Qq/r²)(r/r)  … 斥力
E = {1/(4πε₀)}(Q/r²)(r/r)
|E| = {1/(4πε₀)}(Q/r²)
なので
φ = -∫E･dr = -∫|E|dr = -{1/(4πε₀)}Q∫r^-2dr
φ = {1/(4πε₀)}(Q/r)
微分で表すと
E = -gradφ = -∇φ
 
▼ ガウスの法則の導出
E = {1/(4πε₀)}(Q/r²)(r/r)
|E| = {1/(4πε₀)}(Q/r²)
∫_V ρ dV = Q
 
∫_S E･dS = ∫_V divE dV  … ガウスの発散定理
体積Vの表面Sを通り外へ湧出す量と
体積V内から外へ湧出す量は同じ
Eに垂直な面に換算された面積は4πr² 
より
 
∫_S E･dS = 4πr²|E| = (4πr²){1/(4πε₀)}(Q/r²)
= Q/ε₀ = (1/ε₀)∫_V ρ dV
= ∫_V divE dV 
つまり
∫_V divE dV = (1/ε₀)∫_V ρ dV
より
divE = ρ/ε₀  … ガウスの法則(湧出しの法則)
 
▼ ポアソン方程式の導出
E = -gradφ = -∇φ
divE = ρ/ε₀  
より
divE = ∇･E = -∇･∇φ = -∇²φ = ρ/ε₀  
よって
∇²φ = -ρ/ε₀ 
 
▼ 渦なしの法則の導出
∫_∂S E･dsは面積Sの1周分の積分
 
Fは保存力なので
∫_∂S F･ds = q∫_∂S E･ds 、∫_∂S F･ds = 0より
∫_∂S E･ds = 0
 
ストークスの定理
∫_∂S E･ds = ∫_S rotE･dS
Eに垂直な成分の一周sの長さ(Sの境界線の長さ)は
Eに垂直な周りのdSの周囲の長さを
すべて足したものに等しい
(Sの内部のとなり合うdSの周囲は接触部分で
方向が逆なので打ち消し合いSの周囲のみ残る)
より
 
∫_∂S E･ds = ∫_S rotE･dS = 0なので
rotE = 0  … (渦なしの法則)
 
 
■ 結果
▼ ポアソン方程式
ρ :電荷密度(総量Q:電荷)
ε₀:真空中の誘電率
φ :静電ポテンシャル
 
∇²φ = -ρ/ε₀ 
 
▼ 静電場の法則
ρ :電荷密度(総量Q:電荷)
ε₀:真空中の誘電率
E  :電場
 
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)