ポアソン方程式 (2回目)

2023/7/26(水)
ポアソン方程式 (2回目)
 
(Poisson's equation)
 
重力場のポアソン方程式の導出
 
■ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
ρ :質量密度(総量M:質量)
G  :重力定数
φ :重力ポテンシャル
g  :重力場
r  :原点からの距離(r = |r|)
 
dS = n･dS … (n:面Sの法線ベクトル)
Sは体積Vの表面積(∂V)とする
 
 
■ 導出
▼ 重力場gとポテンシャルφの関係
力
F = mg = -(GMm/r²)(r/r)  … 引力
g = -(GM/r²)(r/r)
|g| = GM/r² 
なので
φ = -∫g･dr = -∫-|g|dr = GM∫r^-2dr
φ = -GM/r
微分で表すと
g = -gradφ = -∇φ
 
▼ div gの導出
g = -(GM/r²)(r/r)
|g| = GM/r² 
∫_V ρ dV = M
 
∫_S g･dS = ∫_V div g dV  … ガウスの発散定理
体積Vの表面Sを通り外へ湧出す量と
体積V内から外へ湧出す量は同じ
gに垂直な面に換算された面積は4πr² 
より
 
∫_S g･dS = -4πr²|g| = -(4πr²)(GM/r²)
= -4πGM = -4πG∫_V ρ dV
= ∫_V div g dV 
つまり
∫_V div g dV = -4πG∫_V ρ dV
より
div g = -4πGρ
 
▼ ポアソン方程式の導出
g = -gradφ = -∇φ
div g = -4πGρ
より
div g = ∇･g = -∇･∇φ = -∇²φ = -4πGρ
よって
∇²φ = 4πGρ
 
▼ 地球の重力とポテンシャルエネルギー
M_e:地球の質量
R_e:地球の半径
h :地球表面からの高さ(|h| << |R_e|)
m :物質の質量
 
重力加速度g = GM_e/R_e² と置くと
地球表面で物質に働く重力は
F = m|g| = m(GM_e/R_e²) = mg
 
ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)
V(r) = -GM_em/r
より
GM_e = gR_e² 
 
地球表面からh持ち上げた時の位置エネルギー
U = V(R_e + h) - V(R_e)
= -GM_em{1/(R_e + h) - 1/R_e}
= GM_em{1/R_e - 1/(R_e + h)}
= mgR_e²{1/R_e - 1/(R_e + h)}
= mgR_e{1 - R_e/(R_e + h)}
= mgR_e{(R_e + h - R_e)/(R_e + h)}
= mgR_e{h/(R_e + h)} … |R_e| >> |h|
≒ mgR_e(h/R_e)
= mgh
 
 
■ 結果
▼ ポアソン方程式
ρ :質量密度(総量M:質量)
G  :重力定数
φ :重力ポテンシャル
 
∇²φ = 4πGρ
 
▼ 地球の重力場のポテンシャルエネルギー
M_e:地球の質量
R_e:地球の半径
h :地球表面からの高さ(|h| << |R_e|)
m :物質の質量
 
重力加速度g = GM_e/R_e² と置くと
地球表面で物質に働く重力は
F = m|g| = m(GM_e/R_e²) = mg
 
ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)
V(r) = -GM_em/r
 
地球表面からh持ち上げた時の位置エネルギー
U = V(R_e + h) - V(R_e) ≒ mgh