相対性理論 (3回目)

2023/7/5(水)
相対性理論 (3回目)
 
(Relativity theory)
 
反変ベクトルと共変ベクトル
共変変換と反変変換について
 
ここでは太字をベクトルとする
 
■ 座標変換
▼ 基底ベクトル
基底ベクトル e₁,e₂,e₃ を e'₁,e'₂,e'₃ に変換を
|e'₁|=|α₁¹ α₁² α₁³||e₁|
|e'₂| |α₂¹ α₂² α₂³||e₂|
|e'₃| |α₃¹ α₃² α₃³||e₃|
とする
e'₁ = α₁¹e₁ + α₁²e₂ + α₁³e₃ = Σα₁^ke_k [k=1,2,3]
= α₁^ke_k … アインシュタインの縮約
 
e'_i= α_i'^ke_k 、e_k = α_k^j'e'_j 
α_i'^kα_k^j' = δ_i'^j' … クロネッカーのデルタ
δ_i^j = (1 if i＝j, 0 if i≠j)
 
▼ 反変ベクトル
反変ベクトル X¹,X²,X³ を X'¹,X'²,X'³ に変換を
|X'¹|=|β¹₁ β¹₂ β¹₃||X¹|
|X'²| |β²₁ β²₂ β²₃||X²|
|X'³| |β³₁ β³₂ β³₃||X³|
とする
X'¹ = β¹₁X¹ + β¹₂X² + β¹₃X³ = Σβ¹_kX^k [k=1,2,3]
= β¹_kX^k … アインシュタインの縮約
 
X'ⁱ = β^i'_kX^k 、X^k = β^k_j'X'^j 
β^i'_kβ^k_j' = δ^i'_j' … クロネッカーのデルタ
δⁱ_j = (1 if i＝j, 0 if i≠j)
 
■ 変換行列
A = α_i'^k = ∂x_k/∂x'_i = ^tB^-1 [共変(順)変換α_行^列]
|∂x¹/∂x'¹ ∂x²/∂x'¹ ∂x³/∂x'¹|
|∂x¹/∂x'² ∂x²/∂x'² ∂x³/∂x'²|
|∂x¹/∂x'³ ∂x²/∂x'³ ∂x³/∂x'³|
A^-1 = α_k^j' = ∂x'_j/∂x_k = ^tB [共変(逆)変換α_行^列]
|∂x'¹/∂x¹ ∂x'²/∂x¹ ∂x'³/∂x¹|
|∂x'¹/∂x² ∂x'²/∂x² ∂x'³/∂x²|
|∂x'¹/∂x³ ∂x'²/∂x³ ∂x'³/∂x³|
B = β^i'_k = ∂x'ⁱ/∂x^k = ^tA^-1 [反変(順)変換β^行_列]
|∂x'¹/∂x¹ ∂x'¹/∂x² ∂x'¹/∂x³|
|∂x'²/∂x¹ ∂x'²/∂x² ∂x'²/∂x³|
|∂x'³/∂x¹ ∂x'³/∂x² ∂x'³/∂x³|
B^-1 = β^k_j' = ∂x^k/∂x'^j = ^tA [反変(逆)変換β^行_列]
|∂x¹/∂x'¹ ∂x¹/∂x'² ∂x¹/∂x'³|
|∂x²/∂x'¹ ∂x²/∂x'² ∂x²/∂x'³|
|∂x³/∂x'¹ ∂x³/∂x'² ∂x³/∂x'³|
上記より
共変変換Aは反変の逆行列の転置^tB^-1に等しい
 
■ 反変ベクトルと共変ベクトル
▼ 反変ベクトル(成分は上添字で表す)
(座標の間隔を2倍にすると成分が半分になる)
 
例
原点から(6cm, 8cm)の位置ベクトルPは
1目盛り1cmのx,y座標上ではP = (6, 8)
1目盛り2cmのx,y座標上ではP'= (3, 4)
となるので
座標の間隔を2倍にすると成分が半分になる
 
e_x  = (1,0)、e_y  = (0,1)
e'_x = (2,0)、e'_y = (0,2)
 
P = (6, 8) = Ae_x + Be_y = A'e'_x + B'e'_y 
= A(1, 0) + B(0, 1) = A'(2, 0) + B'(0, 2)
= (A, 0) + (0, B) = (2A', 0) + (0, 2 B')
P = (A , B ) = (6, 8)
P'= (A', B') = (3, 4)
 
▼ 共変ベクトル(成分は下添字で表す)
(座標の間隔を2倍にすると成分も2倍になる)
 
例
原点から(6cm, 8cm)の位置ベクトルQは
1目盛り1cmのx,y座標上でQ = (6･1, 8･1)
1目盛り2cmのx,y座標上でQ'= (6･2, 8･2)
と表すと
座標の間隔を2倍にすると成分も2倍になる
(位置ベクトルと基底ベクトルの内積で成分を表す)
 
e_x  = (1,0)、e_y  = (0,1)
e'_x = (2,0)、e'_y = (0,2)
 
Q = (6, 8) = (Q･e_x + Q･e_y) = (6･1+0･1, 0･1+8･1)
Q'= (Q･e'_x + Q･e'_y) = (6･2+0･2, 0･2+8･2) = (12, 16)
 
▼ 共変変換と反変変換
e_x  = (1,0)、e_y  = (0,1)
e'_x = (2,0)、e'_y = (0,2)
とすると、座標(反変ベクトルの成分)x,y,x',y'について
∂x = ∂y = 2倍なら∂x' = ∂y' = 1倍となる、また、
∂y/∂x' = ∂x/∂y' = ∂x'/∂y = ∂y'/∂x = 0
(この場合x,yにy,xが関係しないため)
 
共変(順)変換A
e_kからe'_iへの変換は
A =
|∂x¹/∂x'¹ ∂x²/∂x'¹|
|∂x¹/∂x'² ∂x²/∂x'²|
|e'_x| = |∂x/∂x' ∂y/∂x'||e_x|
|e'_y|   |∂x/∂y' ∂y/∂y'||e_y|
|e'_x| = |2/1 0  ||e_x|
|e'_y|   |0   2/1||e_y|
 
反変(順)変換B
P = (X, Y)からP'= (X', Y')への変換は
B =
|∂x'¹/∂x¹ ∂x'¹/∂x²|
|∂x'²/∂x¹ ∂x'²/∂x²|
|X'| = |∂x'/∂x ∂x'/∂y||X|
|Y'|   |∂y'/∂x ∂y'/∂y||Y|
|X'| = |1/2 0  ||X|
|Y'|   |0   1/2||Y|
 
共変(順)変換A
Q = (X, Y)からQ'= (X', Y')への変換は
A =
|∂x¹/∂x'¹ ∂x²/∂x'¹|
|∂x¹/∂x'² ∂x²/∂x'²|
|X'| = |∂x/∂x' ∂y/∂x'||X|
|Y'|   |∂x/∂y' ∂y/∂y'||Y|
|X'| = |2/1 0  ||X|
|Y'|   |0   2/1||Y|
となる
 
▼ 反変ベクトルと共変ベクトルの関係
e_x  = (1,0)、e_y  = (0,1)
e'_x = (2,0)、e'_y = (0,2)
のとき
反変ベクトルP = (6, 8)ならP'= ( 3,  4)
共変ベクトルQ = (6, 8)ならQ'= (12, 16)
P･Q = 6･6+8･8 = 36+64 = 100
P'･P' = 3･12+4･16 = 36+64 = 100
より
P･Q = P'･P'
(一般的な導出は下記結果で)
 
 
  
■ 結果
▼ 共変変換と反変変換
A   = α_i'^k = ∂x_k/∂x'_i = ^tB^-1 [共変(順)変換α_行^列]
A^-1 = α_k^j' = ∂x'_j/∂x_k = ^tB   [共変(逆)変換α_行^列]
B   = β^i'_k = ∂x'ⁱ/∂x^k = ^tA^-1 [反変(順)変換β^行_列]
B^-1 = β^k_j' = ∂x^k/∂x'^j = ^tA   [反変(逆)変換β^行_列]
 
▼ 反変ベクトルと共変ベクトル
b = (b¹,b²,b³) … 反変ベクトル(列ベクトルとする)
a = (a₁,a₂,a₃) … 共変ベクトル(列ベクトルとする)
とすると
a'= Aa 、a = A^-1a' 、b'= Bb 、b = B^-1b' 
^ta'= ^ta^tA 、^tA = B^-1 
より
a'･b' = ^ta'b' = ^ta^tABb = ^taB^-1Bb = ^tab = a･b 
反変ベクトルと共変ベクトルの内積は不変量