相対性理論 (6回目)

2023/7/18(火)
相対性理論 (6回目)
 
一般相対性理論
(General relativity theory)
 
測地線の方程式のニュートン近似を求める
 
■ 定義
▼ クリストッフェル記号
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij 
= (∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X^k/∂X'^m)
= (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
導出は
htt
クリストッフェル記号 (4回目)
 
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij 
= (∂²X'^m/∂Xⁱ∂X^j)(∂X^k/∂X'^m)
= (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
 
▼ 測地線の方程式
x'^α:局所慣性系座標
x^α:一般慣性系座標
 (d²x^γ/dτ²) + Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ) = 0
右辺は外力
 
加速度
(d²x^γ/dτ²) = -Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ)
右辺は重力を意味する
 
 
■ 導出
▼ 測地線の方程式の変形
x^α:位置
u^α:四元速度(dx^α/dτ)
p^α:四元運動量(mcu^α)
詳しくは (2回目)
 
加速度
(d²x^γ/dτ²) = -Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ)
= (du^γ/dτ) = -Γ^γ_αβu^αu^β 
力(加速度にmcを掛けたもの)
(dp^γ/dτ) = {-1/(mc)}Γ^γ_αβp^αp^β 
 
τ:固有時(不変量)
ds:微小不変量
dτ² = -g_αβdx^αdx^β = ds² 
 
▼ ニュートン近似(速度)
ニュートン近似では
空間方向の移動<<時間方向の移動(光の速さ)
なのでg₀₀以外は微小とする
dτ ≒ √(-g₀₀)dx⁰ = √(-g₀₀)cdt
 
力
(dp^γ/dτ) = {-1/(mc)}Γ^γ_αβp^αp^β 
(√(-g₀₀)cdp^γ/dτ) = -√(-g₀₀)c/(mc)Γ^γ_αβp^αp^β 
(dp^γ/dt) = {-√(-g₀₀)/m}Γ^γ_αβp^αp^β 
 
▼ ニュートン近似(重力)
g_αβ :一般座標系の計量
η_αβ:通常のx,y,z座標系の計量diag(-1,1,1,1)
h_αβ :微小差計量
 
弱い重力場
g_αβ ≒ η_αβ + h_αβ (|h_αβ| << 1)
 
重力場は時間変化しない
∂g_αβ/∂x⁰ = 0
 
質点の速度は十分遅い(|v| << |c|)
ローレンツ係数γ = 1/√{1 - (v/c)²} ≒ 1 
 
四元速度の近似
u = (γ,γv_x/c,γv_y/c,γv_z/c) ≒ (1, 0, 0, 0)
四元運動量の近似
p = mcu ≒ (mc, 0, 0, 0)
 
Γ^k_ij = (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
Γ^γ₀₀ = (1/2)g^γa{(∂g_0a/∂x⁰)+(∂g_a0/∂x⁰)-(∂g₀₀/∂x^a)}
= (1/2)g^γa{-(∂g₀₀/∂x^a)} … (∂g_αβ/∂x⁰ = 0)
= -(1/2)(η^γa+h^γa)(∂(η₀₀+h₀₀)/∂x^a) … (a ≠ 0)
= -(1/2)(η^γa+h^γa)(∂h₀₀/∂x^a) … (η^γa=1 if γ=a≠0)
= -(1/2){∂h₀₀/∂x^γ + h^γa(∂h₀₀/∂x^a)} … (|h|<<1,h²無視)
= -(1/2)(∂h₀₀/∂x^γ)
と
{1-(1/2)x}² = 1-x+x² ≒ 1-x … (|x|<<1)
両辺√を付けて
√(1-x) ≒ 1-(1/2)x … (|x|<<1)
より
√(1-h⁰⁰) = (1-h⁰⁰)^1/2 ≒ 1-(1/2)h⁰⁰ (|h⁰⁰| << 1)
を使って
 
F^γ = (dp^γ/dt) = {-√(-g₀₀)/m}Γ^γ_αβp^αp^β 
= {-√(-g₀₀)/m}Γ^γ₀₀p⁰p⁰ 
= {-√(-g₀₀)}mc²Γ^γ₀₀ 
= {-√(-g₀₀)}mc²{-(1/2)(∂h₀₀/∂x^γ)}
= (1/2){√(-g₀₀)}mc²(∂h₀₀/∂x^γ)
= (1/2){√(-η⁰⁰-h⁰⁰)}mc²(∂h₀₀/∂x^γ)
= (1/2){√(1-h⁰⁰)}mc²(∂h₀₀/∂x^γ)
= (1/2){1-(1/2)h⁰⁰}mc²(∂h₀₀/∂x^γ) … (|h|<<1, h²無視)
= (1/2)mc²(∂h₀₀/∂x^γ)
 
▼ h₀₀を求める
F^γ = (1/2)mc²(∂h₀₀/∂x^γ)
ニュートン力学の力はF = -m∇φより
F^γ = -m∂φ/∂x^γ 
2式より
F^γ = (1/2)mc²(∂h₀₀/∂x^γ) = -m∂φ/∂x^γ 
∂h₀₀/∂x^γ = -2m/(mc²)∂φ/∂x^γ 
∂h₀₀/∂x^γ = (-2/c²)∂φ/∂x^γ 
h₀₀ = (-2/c²)φ
 
 
■ 測地線の方程式のニュートン近似
▼ 力
力
F^γ = (dp^γ/dτ) = {-1/(mc)}Γ^γ_αβp^αp^β 
 
ニュートン近似の力
F^γ = (dp^γ/dt) = {-√(-g₀₀)/m}Γ^γ_αβp^αp^β 
= (1/2)mc²(∂h₀₀/∂x^γ)
h₀₀ ≒ (-2/c²)φ
g₀₀ ≒ η₀₀ + h₀₀ = -1 - (2/c²)φ