相対性理論 (7回目)

2023/7/20(木)
相対性理論 (7回目)
 
一般相対性理論
(General relativity theory)
 
エネルギー運動量テンソルT^μν 
(応力テンソル以外)の導出
 
 
■ まえがき
以後
上付添字は反変成分、下付添字は共変成分を表す
(共変成分:座標と同じ変換法則で変換される成分)
(反変成分:座標と逆の変換法則で変換される成分)
(ただし、下付添字x,y,zを除く)
 
テンソルはスカラー、ベクトル、行列のようなもので
0階のテンソルはスカラーで
1階のテンソルはベクトルで
2階のテンソルは行列で表現できる
 
 
■ エネルギー密度と運動量密度
ε:エネルギー密度
π_x:運動量密度
ρ:密度
m:質量
γ:ローレンツ係数
 
γ = 1/√{1 - (v/c)²}
 
(2回目)より
u:四元速度
p:四元運動量
u = (u⁰, u¹, u², u³)
p = (E/c, p_x, p_x, p_x) = mc(u⁰, u¹, u², u³)
= mc(γ, γv_x/c, γv_y/c, γv_z/c)
= (γmc, γmv_x, γmv_y, γmv_z)
より
 
m ∝ γρ … ローレンツ収縮による密度の影響
E = γmc² より
ε = γ²ρc² = u⁰u⁰ρc² … (u⁰ = γ)
 
p_x = γmv_x より
π_x = γ²ρv_x = u⁰u¹ρc … (cu¹ = γv_x)
cπ_x = u⁰u¹ρc² 
 
 
 
■ エネルギー運動量テンソルの定義
2階の反変テンソル
エネルギー運動量テンソルを
T^μν = ρc² 
|u⁰u⁰ u⁰u¹ u⁰u² u⁰u³|
|u¹u⁰ u¹u¹ u¹u² u¹u³|
|u²u⁰ u²u¹ u²u² u²u³|
|u³u⁰ u³u¹ u³u² u³u³|
と定義すると
 
T^μν =
|ε　　cπ_x　　cπ_y　　cπ_z　|
|cπ_x ρc²u¹u¹ ρc²u¹u² ρc²u¹u³|
|cπ_y ρc²u²u¹ ρc²u²u² ρc²u²u³|
|cπ_z ρc²u³u¹ ρc²u³u² ρc²u³u³|
となる
(右下の9成分は応力テンソル)
 
 
■ エネルギー保存則
T⁰¹ = cπ_x = cγ²ρv_x  (1/c)γ²ρc²v_x 
= v_x(ε/c)
cT⁰¹ = v_xε
 
微小yz平面をx方向に単位時間に流れる
エネルギー量は
cT⁰¹dydz = v_xεdydz
距離dx離れた地点でのエネルギー差は
c(∂T⁰¹/∂x)dxdydz = {(∂v_xε/∂x)dydz}dx
となり3次元に拡張して
c(∂T⁰¹/∂x+∂T⁰²/∂y+∂T⁰³/∂z)dxdydz
 
微小空間のdV = dxdydzのエネルギー量は
εdVとなり、エネルギーが流出すると減るので
時間変化量は-(∂ε/∂t)dVとなる
 
T⁰⁰ = εに置き換えて
c(∂T⁰¹/∂x+∂T⁰²/∂y+∂T⁰³/∂z)dV
= -(∂T⁰⁰/∂t)dV
 
{∂T⁰⁰/∂(ct)+∂T⁰¹/∂x+∂T⁰²/∂y+∂T⁰³/∂z}dV
= 0
 
x = (x⁰,x¹,x²,x³) = (ct,x,y,z)として
Σxⁱ (i=0,1,2,3)をxⁱと書く事を
アインシュタインの縮約という
 
∂T^0ν/∂x^ν = 0
全エネルギー変化量の合計が0なので
エネルギー保存則が成り立つ
 
 
■ 運動量保存則
π_x = γ²ρv_x より
T¹¹ = ρc²u¹u¹ = ρc²(γv_x/c)(γv_x/c)
= γ²ρv_xv_x = π_xv_x 
これは単位時間にyz単位平面をx方向に
移動する運動量のx成分を表しているので
dx間の量は
(∂T¹¹/∂x)dx
エネルギーの時と同様に
(∂T¹¹/∂x+∂T¹²/∂y+∂T¹³/∂z)dVが
dVから単位時間あたりに流出する運動量の
x成分なので-(∂π_x/∂t)dV となり
T¹⁰/c = π_x で置き換えて
 
(∂T¹¹/∂x+∂T¹²/∂y+∂T¹³/∂z)dV
= -{∂T¹⁰/∂(ct)}dV
{∂T¹⁰/∂(ct)+∂T¹¹/∂x+∂T¹²/∂y+∂T¹³/∂z}dV
= 0
 
∂T^1ν/∂x^ν = 0 … (x成分)
∂T^2ν/∂x^ν = 0 … (y成分)
∂T^3ν/∂x^ν = 0 … (z成分)
運動量の変化量の総和はx,y,z成分で0なので
運動量保存則が成り立つ
 
 
■ まとめ
上付添字は反変成分、下付添字は共変成分を表す
(ただし、下付添字x,y,zを除く)
 
ε:エネルギー密度(ε = γ²ρc²)
π_x:運動量密度(π_x = γ²ρv_x)
ρ:密度
c:光速度
uⁱ:四元速度の成分
 
エネルギー運動量テンソル
T^μν = ρc² 
|u⁰u⁰ u⁰u¹ u⁰u² u⁰u³|
|u¹u⁰ u¹u¹ u¹u² u¹u³|
|u²u⁰ u²u¹ u²u² u²u³|
|u³u⁰ u³u¹ u³u² u³u³|
=
|ε　　cπ_x　　cπ_y　　cπ_z　|
|cπ_x ρc²u¹u¹ ρc²u¹u² ρc²u¹u³|
|cπ_y ρc²u²u¹ ρc²u²u² ρc²u²u³|
|cπ_z ρc²u³u¹ ρc²u³u² ρc²u³u³|
(右下の9成分は応力テンソル)
真空では
T^μν = 0
 
エネルギー保存則
∂T^0ν/∂x^ν = 0
運動量保存則
∂T^1ν/∂x^ν = 0 … (x成分)
∂T^2ν/∂x^ν = 0 … (y成分)
∂T^3ν/∂x^ν = 0 … (z成分)
 
エネルギー保存則と運動量保存則
∂T^μν/∂x^ν = ∂T^μν/∂x^μ = 0
が成り立つ
(T^μν = T^νμ)