曲率テンソル (5回目)

2023/8/8(火)
曲率テンソル (5回目)
 
(Curvature tensor)
 
アインシュタイン･テンソルの導出
 
■ 定義
▼ ビアンキの恒等式
曲率テンソル (3回目)より
 
R_km,αβ + R_kα,βm + R_kβ,mα = 0
Rⁿ_m,αβ + Rⁿ_α,βm + Rⁿ_β,mα = 0
∇_γR_km,αβ + ∇_αR_km,βγ + ∇_βR_km,γα = 0
∇_γRⁿ_m,αβ + ∇_αRⁿ_m,βγ + ∇_βRⁿ_m,γα = 0
 
▼ 曲率テンソルの反対称性
Rⁿ_m,αβ = -Rⁿ_m,βα 
Rⁿ_m,αβ = -R^m_n,αβ 
 
■ 導出
▼ アインシュタインテンソルを求める
∇_μG^μν = 0
となる
G^μν 
を求める
 
∇_γR_km,αβ + ∇_αR_km,βγ + ∇_βR_km,γα = 0
 
g^mβを掛ける
g^mβ(∇_γR_km,αβ + ∇_αR_km,βγ + ∇_βR_km,γα)
= ∇_γg^mβR_km,αβ + ∇_αg^mβR_km,βγ + ∇_βg^mβR_km,γα 
= ∇_γR_kα - ∇_αg^mβR_km,γβ - ∇_βg^mβR_mk,γα 
= ∇_γR_kα - ∇_αR_kγ - ∇_βR^β_k,γα = 0
 
g^kαを掛ける
g^kα(∇_γR_kα - ∇_αR_kγ - ∇_βR^β_k,γα)
= ∇_γg^kαR_kα - ∇_αg^kαR_kγ - ∇_βg^kαR^β_k,γα 
= ∇_γR - ∇_αR^α_γ - ∇_βR^β_γ 
= ∇_γR - ∇_αR^α_γ - ∇_αR^α_γ 
= ∇_γR - 2∇_αR^α_γ 
= ∇_αδ^α_γR - 2∇_αR^α_γ 
= ∇_α(δ^α_γR - 2R^α_γ) = 0
 
∇_α{R^α_γ - (1/2)δ^α_γR} = 0
 
g^γβを掛ける
g^γβ∇_α{R^α_γ - (1/2)δ^α_γR}
= ∇_α{R^α_γg^γβ - (1/2)δ^α_γg^γβR}
= ∇_α{R^αβ - (1/2)g^αβR} = 0
 
アインシュタイン･テンソル
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR
∇_μG^μν = 0
 
 
■ 結果
▼ アインシュタイン･テンソル
G^μν = R^μν - (1/2)g^μνR
∇_μG^μν = 0