最速降下曲線 (2回目)

2023/9/18(月)
最速降下曲線 (2回目)
 
(Brachistochrone curve)
 
今回は最短経路(直線)の運動を求めて
最速降下曲線と比較する
 
■ 問題
重力加速度gのもとで(下向きを正とする)
点A(0, 0)から点B(w, h)に降下するとき
質点P(x, y)の最速降下線を求めよ
   
■ 前回
▼ 軌道
0 ≦ θ ≦ 2π
x = A(θ - sinθ)
y = A(1  - cosθ)
θ = t√(g/A)
t = θ√(A/g)
 
θ = 2π, A = w/2π  (if h = 0)
 
f(θ) = (θ - sinθ) / (1  - cosθ) - h/w
f(θ) = 0の解, A = h/(1  - cosθ)  (if h > 0)
 
 
■ 解法
▼ 移動距離
傾斜面の長さSは
S = √(w² + h²)
 
傾斜面の俯角θは
tanθ = h/w
sinθ = h/S = h/√(w² + h²)
cosθ = w/S = w/√(w² + h²)
 
斜面の移動距離sは
s = (1/2)(gsinθ)t² 
= (1/2)gt²h/√(w² + h²)
移動距離x,yは
x = scosθ = sw/√(w² + h²)
= (1/2)gt²wh/(w² + h²)
y = ssinθ = sh/√(w² + h²)
= (1/2)gt²h²/(w² + h²)
 
移動率をαとして
α = (1/2)gt²h/(w² + h²)
(x, y) = (αw, αh)
 
時間
t = √{2α(w² + h²)/(gh)}
 
 
▼ 最速時との割合
最速降下曲線時の時間
t = θ√(A/g)
を
直線距離の移動率
α = (1/2)gt²h/(w² + h²)
に代入
最速降下曲線で終了時の
直線距離移動割合をβとすると
β = (1/2)g(θ²A/g)h/(w² + h²)
= (1/2)θ²Ah/(w² + h²)
 
■ 結果
▼ 直線軌道
移動率をαとして
α = (1/2)gt²h/(w² + h²)
移動距離
(x, y) = (αw, αh)
時間
t = √{2α(w² + h²)/(gh)}
 
▼ 最速時との割合
最速降下曲線で終了時の
直線距離移動割合をβとすると
β = (1/2)θ²Ah/(w² + h²)
 
 
■ 具体的な例で検証
▼ 具体的な例(θ=πの時)を設定
0 ≦ θ ≦ 2π
x = A(θ - sinθ)
y = A(1  - cosθ)
θ = t√(g/A)
t = θ√(A/g)
 
計算しやすいようにθ = πの時を考える
h = y = A(1  - cosθ) = A(1  - cosπ)
= 2A
A = h/2
w = x = A(θ - sinθ)
= πh/2
 
▼ 距離の比較
最速降下曲線で終了時の
直線距離移動割合βは
β = (1/2)θ²Ah/(w² + h²)
= (1/2)π²(h/2)h/{(πh/2)² + h²}
= π²h²/(π²h² + h²)
= π²/(π² + 1)
≒ 0.9080003… ≒ 0.91
曲線終了時の直線の進度は約0.91(91%)
 
▼ 時間の比較
最速(曲線)
t = θ√(A/g) = π√{h/(2g)}
= √{hπ²/(2g)}
 
直線(全体α = 1)
t'= √{2α(w² + h²)/(gh)}
= √[2{(πh/2)² + h²}/(gh)]
= √{2h²(π²/4 + 1)/(gh)}
= √{h(π²/2 + 2)/g}
= √{h(π² + 4)/(2g)}
 
t'/t = √{h(π² + 4)/(2g)} / √{hπ²/(2g)}
= √{(π² + 4) / π²}
= √(π² + 4) / π
≒ 1.185447… ≒ 1.19
直線は約1.19倍の時間がかかる
 
t/t' = √{hπ²/(2g)} / √{h(π² + 4)/(2g)}
= √{π² / (π² + 4)}
= π√{1/(π² + 4)}
≒ 0.8435636… ≒ 0.84
曲線は約0.84倍の時間で終了する