コリオリ力 (1回目)

2023/9/22(金)
コリオリ力 (1回目)
 
(Coriolis force)
 
コリオリ力を求める
 
■ 導出
▼ 定義
k = x,y,zとする
静止座標系の基底を(e_x, e_y, e_z) = e_k 
座標を(x, y, z)で表す
この静止系のz軸まわりに角速度ωで回転している
回転座標系の基底を(e_x', e_y', e_z') = e_k'
座標を(x', y', z')で表す
 
位置ベクトルは
r = xe_x + ye_y + ze_z = x'e_x' + y'e_y' + z'e_z' 
 
ここでe_xとe_x'のなす角は
θ = ωt
 
▼ 回転系の基底
e_x = (1, 0)をθ傾けると
e_x'= (cosθ, sinθ) = (cosθ, 0) + (0, sinθ)
= (1, 0)cosθ + (0, 1)sinθ = e_xcosθ + e_ysinθ
e_y = (0, 1)をθ傾けると
e_y'= (-sinθ, cosθ) = (-sinθ, 0) + (0, cosθ)
= -(1, 0)sinθ + (0, 1)cosθ
よって
e_x' =  e_xcosωt + e_ysinωt
e_y' = -e_xsinωt + e_ycosωt
e_z' =  e_z 
 
e_kとe_z'は時間変化しないので微分は
e(･)_x' = -e_xωsinωt + e_yωcosωt =  ωe_y'
e(･･)_x' = -e_xω²cosωt - e_yω²sinωt = -ω²e_x'
e(･)_y' = -e_xωcosωt - e_yωsinωt = -ωe_x'
e(･･)_y' =  e_xω²sinωt - e_yω²cosωt = -ω²e_y'
e(･)_z' = e(･･)_z' = 0
 
▼ 回転系の位置
r = xe_x + ye_y + ze_z = x'e_x' + y'e_y' + z'e_z' 
 
r(･･) = (d²/dt²)(x'e_x' + y'e_y' + z'e_z')
= (x(･･)'e_x'+y(･･)'e_y'+z(･･)'e_z') + 2(x(･)'e(･)_x'+y(･)'e(･)_y'+0) + (x'e(･･)_x'+y'e(･･)_y'+0)
= (x(･･)'e_x'+y(･･)'e_y'+z(･･)'e_z') + 2ω(x(･)'e_y'-y(･)'e_x') - ω²(x'e_x'+y'e_y')
 
▼ F = ma 
F = ma = mr(･･) 
= m(x(･･)'e_x'+ y(･･)'e_y'+ z(･･)'e_z')
+ 2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x') - mω²(x'e_x'+ y'e_y')
 
ここで
ma' = mr(･･)' = m(x(･･)'e_x'+ y(･･)'e_y'+ z(･･)'e_z')
= F - 2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x') + mω²(x'e_x'+ y'e_y')
 
ここで
F_C:コリオリ力(Coriolis force)
f_C:遠心力(Centrifugal force)
として
F_C = -2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x')
f_C =  mω²(x'e_x'+ y'e_y')
と置くと
mr(･･)' = F + F_C + f_C 
 
▼ コリオリ力
v' = r(･)' = x(･)'e_x'+ y(･)'e_y'+ z(･)'e_z'
 
長さがωで回転軸方向のベクトルを
ωとすると
ω = (ω_x, ω_y, ω_z) = (0, 0, ω) = ωe_z'
 
ω×r(･)' = ω×v' =
= (ω_yv_z'-ω_zv_y', ω_zv_x'-ω_xv_z', ω_xv_y'-ω_yv_x')
= (-ωv_y', ωv_x', 0) = ω(-y(･)', x(･)', 0)
= ω(-y(･)'e_x'+ x(･)'e_y') = ω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x')
よって
F_C = -2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x')
= -2mω×r(･)' = -2mω×v'
 
 
▼ 向心力
ω = (ω_x, ω_y, ω_z) = (0, 0, ω) = ωe_z'
r' = x'e_x' + y'e_y' + z'e_z' と置くと
 
v:点r'が角速度ωで円運動している速度
v = ω×r'
= (ω_yr_z'-ω_zr_y', ω_zr_x'-ω_xr_z', ω_xr_y'-ω_yr_x')
= (-ωr_y', ωr_x', 0) = (-ωy', ωx', 0)
= (-ωy'e_x'+ ωx'e_y')
= (v_x, v_y, v_z) = (-ωy', ωx', 0)
 
f:向心力(Centripetal force)
 
f = mω×(ω×r')
= m(ω_yv_z-ω_zv_y, ω_zv_x-ω_xv_z, ω_xv_y-ω_yv_x)
= m(-ωv_y, ωv_x, 0) = ω²(-x', -y', 0)
= -mω²(x'e_x'+ y'e_y')
f_C = mω²(x'e_x'+ y'e_y') = -f 
= -mω×(ω×r')
 
▼ 遠心力
ω = (ω_x, ω_y, ω_z) = (0, 0, ω) = ωe_z'
r' = x'e_x' + y'e_y' + z'e_z'と置き
 
z'軸に垂直と平行な成分をそれぞれ
r'_⊥ = x'e_x' + y'e_y'
r'_// = z'e_z'
と置くと
 
ω(ω･r') = ω(ωz') = ωe_z'(ωz')
= ω²z'e_z' = ω²r'_// 
 
f_C = mω²(x'e_x'+ y'e_y')
= mω²r'_⊥ 
= mω²r' - mω²r'_// 
= mω²r' - mω(ω･r')
 
 
■ 結果
▼ 定義
静止座標系のz軸まわりに角速度ωで回転している
回転座標系を'付きで表す
 
F :物体に加える力
f :向心力(Centripetal force)
F_C :コリオリ力(Coriolis force)
f_C :遠心力(Centrifugal force)
 
ω = (ω_x, ω_y, ω_z) = (0, 0, ω) = ωe_z'
r' = x'e_x' + y'e_y' + z'e_z'
z'軸に垂直と平行な成分はそれぞれ
r'_⊥ = x'e_x' + y'e_y'
r'_// = z'e_z' = ω(ω･r')/ω² 
 
f = mω×(ω×r') = -mω²(x'e_x'+ y'e_y') = -f_C 
 
▼ 運動方程式
ma' = mr(･･)' = F + F_C + f_C 
= F - 2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x') + mω²(x'e_x'+ y'e_y')
= F - 2mω×r(･)' - mω×(ω×r')
= F - 2mω×r(･)' + mω²{r'- ω(ω･r')/ω²}
= F - 2mω×v' + mω²r'_⊥