コリオリ力 (4回目)

2023/9/28(木)
コリオリ力 (4回目)
 
(Coriolis force)
 
自由落下
 
■ 前提
▼ 定義
F :物体に加える力
F_C :コリオリ力(Coriolis force)
f_C :遠心力(Centrifugal force)
T:地球の自転周期[86164.098903691(s)]
ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)]
G:重力定数[6.67430×10^-11(Nm²/kg²)]
M:地球質量[5.972×10²⁴(kg)]
R:地球の半径[6367.5×10³(m)北緯45°]
g:重力加速度[g = GM/R² ≒ 9.83077(m/s²)]
(北緯45°の標準重力加速度は正確にg_n = 9.80665 m/s²)
h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする)
φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]
 
(x, y, z) = (南, 東, 上)とする
原点(x, y, z) = (0, 0, R)
 
▼ 運動方程式
ma = mr(･･) = F + F_C + f_C 
= F - 2mω×r(･)' - mω×(ω×r')
= F - 2mω×r(･)' + mω²{r'- ω(ω･r')/ω²}
= F - 2mω×v' + mω²r'_⊥ 
 
= (0, 0, -mg)
+ (mω²Rcosφsinφ, 0, mω²Rcos²φ)
+ (2mωy(･)sinφ, -2mω(x(･)sinφ+z(･)cosφ), 2mωy(･)cosφ)
 
 
■ 導出
▼ 重力加速度(万有引力と遠心力による加速度)
g = (F + F_C)/m
= (0, 0, -GM/R²) + (ω²Rcosφsinφ, 0, ω²Rcos²φ)
≒ (0, 0, -g_n)
(重力加速度gを標準重力加速度g_nで近似)
 
a = r(･･) = (F + F_C + f_C)/m = g + f_C/m
= (0, 0, -g_n)
+ (2ωy(･)sinφ, -2ω(x(･)sinφ+z(･)cosφ), 2ωy(･)cosφ)
= (2ωy(･)sinφ, -2ωx(･)sinφ-2ωz(･)cosφ, -g_n + 2ωy(･)cosφ)
 
aに(x,y,z)の位置情報が含まれていないので以後
原点(x, y, z) = (0, 0, R)を
原点(x, y, z) = (0, 0, 0)
に変更する
 
▼ 自由落下
高さhから初速0で自由落下する質点を考える
初期条件
r₀ = (x₀, y₀, z₀) = (0, 0,  h)
v₀ = (v₀, v₀, v₀) = (0, 0,  0)
a₀ = (a₀, a₀, a₀) = (0, 0, -g_n)
 
t(s)後
r = (x, y, z)
v = (x(･), y(･), z(･))
a = (x(･･), y(･･), z(･･))
= (2ωy(･)sinφ, -2ωx(･)sinφ-2ωz(･)cosφ, -g_n + 2ωy(･)cosφ)
 
位置、速度、加速度は
z(･･) = -g_n + 2ωy(･)cosφ ≒ -g_n と近似
z = h - (1/2)g_nt² 
z(･) = -g_nt と
x(･) ≒ 0 を近似して代入
y(･･) = -2ωx(･)sinφ-2ωz(･)cosφ ≒ 2g_ntωcosφ
をtで積分していき
y(･) = g_nt²ωcosφ
y = (1/3)g_nt³ωcosφ
 
この結果を代入
x(･･) = 2ωy(･)sinφ ≒ 2g_nt²ω²sinφcosφ
をtで積分していき
x(･) = (2/3)g_nt³ω²sinφcosφ
x = (1/6)g_nt⁴ω²sinφcosφ
 
地面に着くまでの時間
z ≒ h - (1/2)g_nt² ≒ 0
(1/2)g_nt² ≒ h
t ≒ √(2h/g_n)
 
 
■ 結果
▼ 定義
T:地球の自転周期[86164.098903691(s)]
ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)]
g:重力加速度[g = GM/R² ≒ 9.83077(m/s²)]
(北緯45°の標準重力加速度は正確にg_n = 9.80665 m/s²)
h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする)
φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]
a :標準重力加速度+コリオリ力による加速度
 
▼ 法則(標準重力加速度+コリオリ力)
a = (2ωy(･)sinφ, -2ωx(･)sinφ-2ωz(･)cosφ, -g_n + 2ωy(･)cosφ)
(x, y, z) = (南, 東, 上)とする
原点(x, y, z) = (0, 0, 0)
 
▼ 自由落下(標準重力加速度+コリオリ力)
高さhから初速0で自由落下する質点を考える
初期条件
r₀ = (x₀, y₀, z₀) = (0, 0,  h )
v₀ = (v₀, v₀, v₀) = (0, 0,  0 )
a₀ = (a₀, a₀, a₀) = (0, 0, -g_n)
 
位置、速度、加速度は
a = (x(･･), y(･･), z(･･))
= (2gt²ω²sinφcosφ, 2gtωcosφ, -g_n)
v = (x(･), y(･), z(･)) = ((2/3)g_nt³ω²sinφcosφ, g_nt²ωcosφ, -g_nt)
r = (x, y, z)
= ((1/6)g_nt⁴ω²sinφcosφ, (1/3)g_nt³ωcosφ, h - (1/2)g_nt²)
 
地面に着くまでの時間
t ≒ √(2h/g_n)