電磁気学 (2回目)

2023/9/3(日)
電磁気学 (2回目)
 
(Electro magnetics)
 
電磁気学の基本4法則の導出
 
■ 前提
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
φ :静電ポテンシャル(V) = (J/C)
E  :電場(N/C)
D  :電束密度(C/m²)
r  :原点からの距離(m)(r = |r|)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
Φ :磁束(Wb)
H  :磁場(A/m) = (N/Wb)
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
 
dS = n･dS … (n:面Sの法線ベクトル)
Sは体積Vの表面積とする
s = ∂SはSの周長とする
 
▼ 法則
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
divD = ρ     … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)
divB = 0      … (湧出しなし)
H = I/(2πr)  … (アンペールの法則)
rotH = j      … (アンペールの法則)
rotB = μ₀j   … (アンペールの法則)
F = qv×B     … (ローレンツ力)
 
 
■ 導出
▼ レンツの法則(磁力線の数の変化で電流が生じる)
φ:起電力(V)
Φ:磁束(Wb)
 
qE = F = qv×B より
E = v×B 
この式を
電場中の1巻きの長さsのコイルの
微小長さをdsとして積分すると
∫_s E･ds  = ∫_s (v×B)･ds 
またφは静電ポテンシャルなので電場を積分して
φ = ∫_s E･ds 
より
φ = ∫_s (v×B)･ds 
また磁束密度Bが面積Sを貫く磁束は
Φ = ∫_S B･dS 
 
固定されたコイルを貫く磁力線の数が変化する事を
変化しない磁力線中をコイルが移動する事で
磁力線の数が変化すると考えると
 
時間dtにコイルの微小部分dsが移動した距離はvdtで
vdt×ds はdsがvdtだけズレた部分の面積で
方向はこの面の法線となっている
 
B･(vdt×ds)はこの面を貫く磁力線の数になる
ここでvを上,dsを右とすると(vdt×ds)は奥になる
のでBは奥とする
(磁力線の変化を防ぐ方向に電流が流れるのでBが奥なら
右手の法則に逆らって電流は右つまりds方向に流れる)
 
(B×v)は右になるのでdsの方向と一致するので
符号に注意して
B･(vdt×ds) = B･(v×ds)dt = dt(B×v)･ds 
= -dt(v×B)･ds 
 
微小時間での磁束の変化の総数は
dΦ = ∫_s -dt(v×B)･ds = -dt∫_s (v×B)･ds 
dΦ/dt = -∫_s (v×B)･ds = ∫_s E･ds = φ
よって
φ = -dΦ/dt
これに
Φ = ∫_S B･dS 
φ = ∫_s E･ds 
を代入すると
∫_s E･ds = -(d/dt)∫_S B･dS 
 
ストークスの定理より(s = ∂S)
∫_s E･ds = ∫_S rotE･dS = -(d/dt)∫_S B･dS 
= -∫_S (∂B/∂t)･dS 
より
rotE = -∂B/∂t
rotE + ∂B/∂t = 0  … ファラデーの誘導法則
 
▼ アンペール･マクスウェルの法則
divD = ρ
電流は電荷密度が増える方から減る方向に湧出すので
divj = -∂ρ/∂t =  -∂D/∂t = -div(∂D/∂t)より
j = -∂D/∂t  … (電束電流:電束密度が変化する場合)
rotH = j      … (磁場が生じている場合)
よって合計すると
rotH - ∂D/∂t = j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
 
▼ マクスウェルの方程式の基本4式
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
divD = ρ     … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)
divB = 0      … (湧出しなし)
rotH = j      … (アンペールの法則)
rotB = μ₀j   … (アンペールの法則)
rotE + ∂B/∂t = 0  … ファラデーの誘導法則
rotH - ∂D/∂t = j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
の式を
D = ε₀E 
H = B/μ₀ 
で置き換えて減らす
 
rotE + ∂B/∂t = 0  … ファラデーの誘導法則
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
divB = 0      … (湧出しなし)
 
rotH - ∂D/∂t = j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
(1/μ₀)rotB - ε₀∂E/∂t = j 
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j 
 
 
■ 結果
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f、div E = ∇･E、rot E = ∇×E 
 
E  :電場(N/C)
D  :電束密度(C/m²)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
H  :磁場(A/m) = (N/Wb)
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :静電ポテンシャル(V)
Φ :磁束(Wb)
 
▼ 起電力
φ = -dΦ/dt
 
▼ マクスウェルの方程式
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
divB = 0                     … (湧出しなし)