電磁気学 (3回目)

2023/9/4(月)
電磁気学 (3回目)
 
(Electro magnetics)
 
マクスウェル(Maxwell)の方程式を
ポテンシャルで表す
 
■ 前提
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
E  :電場(N/C)
D  :電束密度(C/m²)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
H  :磁場(A/m) = (N/Wb)
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル
A  :ベクトルポテンシャル
 
▼ マクスウェルの方程式
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
divB = 0                     … (湧出しなし)
 
 
■ 導出
▼ ポテンシャルを定義して式を減らす
スカラーポテンシャルφと
ベクトルポテンシャルA を
E = -gradφ
B = rotA 
と定義する
 
(∇×A)は∇と垂直なベクトルになる為
∇･(∇×A) = div(rotA) = 0
より
B = rotA 
を
divB = 0  … (湧出しなし)
に代入して
divB = div(rotA) = ∇･(∇×A) = 0
となり
divB = 0は満たされる
 
さらに
B = rotA 
を
rotE + ∂B/∂t = 0  … ファラデーの誘導法則
に代入して
rotE + ∂(rotA)/∂t = 0
rot(E + ∂A/∂t) = 0
ここで
E = -gradφ - ∂A/∂t
と再定義し
 
∇×∇は同じ方向のベクトルの外積は0ベクトルになる
(同じ方向の2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は0)
より
代入すると
rot(E + ∂A/∂t) = rot(-gradφ-∂A/∂t+∂A/∂t)
= -rot(gradφ) = ∇×(∇φ) = 0
 
つまり
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
を定義すると
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
の2式のみで良くなった
 
▼ ベクトル三重積の公式
A×(B×C) = (A･C)B - (A･B)C 
{A×(B×C)}x = Ay(B×C)z - Az(B×C)y
= Ay(BxCy-ByCx) - Az(BzCx-BxCz)
{(A･C)B - (A･B)C}x
= (AxCx+AyCy+AzCz)Bx - (AxBx+AyBy+AzBz)Cx
= AxBxCx + AyBxCy + AzBxCz
- AxBxCx - AyByCx - AzBzCx
= AyBxCy + AzBxCz - AyByCx - AzBzCx
= Ay(BxCy-ByCx) - Az(BzCx-BxCz)
y,z成分も同様に一致する
 
これを書換えると
rot rot A = ∇×(∇×A)
= ∇(∇･A) - (∇･∇)A = grad div A - ΔA 
 
▼ ポテンシャルのみの式にする
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
を
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
に代入
rot rotA - ε₀μ₀(∂/∂t)(-gradφ - ∂A/∂t) = μ₀j
-{rot rotA - ε₀μ₀(∂/∂t)(-gradφ - ∂A/∂t)}
= -rot rotA - ε₀μ₀(∂/∂t)(gradφ + ∂A/∂t)
= - (grad divA - ΔA)
- ε₀μ₀grad(∂φ/∂t) - ε₀μ₀∂²A/∂t² 
= {ΔA - ε₀μ₀(∂²A/∂t²)}
- grad{divA + ε₀μ₀(∂φ/∂t)}
= {Δ - ε₀μ₀(∂²/∂t²)}A - grad{divA + ε₀μ₀(∂φ/∂t)}
= -μ₀j
 
E = -gradφ - ∂A/∂t
を
divE = ρ/ε₀  … (ガウスの法則)
に代入
-divE = -div(-gradφ - ∂A/∂t)
= div(gradφ + ∂A/∂t)
= ∇･(∇φ) + div(∂A/∂t)
= Δφ + div(∂A/∂t)
= -ρ/ε₀ 
 
■ 結果
▼ 定義
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル(V)
A  :ベクトルポテンシャル
 
▼ ポテンシャルの方程式
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
 
{Δ - ε₀μ₀(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + ε₀μ₀(∂φ/∂t)} = -μ₀j 
Δφ + div(∂A/∂t) = -ρ/ε₀