電磁気学 (5回目)

2023/8/10(日)
電磁気学 (5回目)
 
(Electro magnetics)

ローレンツ条件
(Lorenz condition)
 
 
■ 前提
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
ダランべルシアン
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル(V)
A  :ベクトルポテンシャル
c  :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε₀μ₀)導出略]
 
▼ 相対論的マクスウェルの方程式
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
 
A^μ = (A⁰, A¹, A², A³) = (φ/c, A)
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
 
今までの式変形の逆算より
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = -μ₀j  … ①
Δφ + div(∂A/∂t) =  -μ₀j⁰  … ②
 
 
■ 導出
▼ ゲージ変換
rot gradχ = ∇×(∇χ) = 0 
(同じ方向のベクトルの外積の大きさは0)
 
B = rotA は
A' = A + gradχ
に変えても成り立つ
 
E = -gradφ - ∂A/∂t
は
φ' = φ - ∂χ/∂t
A' = A + gradχ
に変えると
-gradφ' - ∂A/∂t
= -grad(φ - ∂χ/∂t) - (∂/∂t)(A + gradχ)
= -gradφ + grad(∂χ/∂t)
- ∂A/∂t - grad(∂χ/∂t)
= -gradφ - ∂A/∂t = E 
となり成り立つ
 
φ' = φ - ∂χ/∂t
A' = A + gradχ
この(φ, A)から(φ', A')への変換を
ゲージ変換という
 
マクスウェルの方程式はゲージ変換のもとで不変
 
▼ ローレンツ条件
①式の第2項のgradの中が
divA + (1/c²)(∂φ/∂t) = 0  … ローレンツ条件
となる条件が見つかれば
②式は
divA = -(1/c²)(∂φ/∂t)を代入して
Δφ + div(∂A/∂t) = Δφ + (∂/∂t)(divA)
= Δφ - (1/c²)(∂²φ/∂t²)
= {Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}φ = -μ₀j⁰  … ②'
①式は
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A = -μ₀j  … ①'
 
よって
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A  = -μ₀j   … ①'
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}φ = -μ₀j⁰  … ②'
 
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}χ + {divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = 0
がゲージ変換に対してローレンツ条件が満たされれば
式①'②'が成り立てば式①②も成り立つ
 
ローレンツ条件が満たされているなら
divA + (1/c²)(∂φ/∂t) = 0なので
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}χ + {divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = 0
は
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}χ = 0
を使って
ゲージ変換は
φ' = φ - ∂χ/∂t
A' = A + gradχ
を代入して
divA' + (1/c²)(∂φ'/∂t)
= div(A + gradχ) + (1/c²)(∂/∂t)(φ - ∂χ/∂t)
= divA + div gradχ + (1/c²)(∂φ/∂t)
- (1/c²)(∂²χ/∂t²)
= divA + (1/c²)(∂φ/∂t) + Δχ - (1/c²)(∂²χ/∂t²)
= divA + (1/c²)(∂φ/∂t) + {Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}χ
= 0 + 0 = 0
よって
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}χ + {divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = 0
に対して
ゲージ変換のもとでローレンツ条件を満たすχが存在する
 
▼ ローレンツゲージによるマクスウェルの方程式
divA + (1/c²)(∂φ/∂t) = 0  … ローレンツ条件
を満たす好きな電磁ポテンシャルを決めて
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A  = -μ₀j   … ①'
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}φ = -μ₀j⁰  … ②'
とする
 
 
■ 結果
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル(V)
A  :ベクトルポテンシャル
 
▼ ローレンツゲージによるマクスウェルの方程式
ローレンツ条件の下でゲージ変換に対して不変な
マクスウェルの方程式
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
 
divA + (1/c²)(∂φ/∂t) = 0  … ローレンツ条件
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A  = -μ₀j   … ①'
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}φ = -μ₀j⁰  … ②'
 
▼ (特殊)相対論的マクスウェルの方程式
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
∂_νA^ν = 0  … ローレンツ条件
より
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
は
□A^μ = -μ₀j^μ  … ①'と②'