三角関数 (4回目)

2023/10/26(木)
三角関数 (4回目)
 
オイラーの公式(Euler's formula)
e^iθ = cosθ + isinθ
の導出(証明?)
 
y'(θ) = (d/dθ)y(θ) とする
 
y(θ) = cosθ + isinθ と置くと
y'(θ) = -sinθ + icosθ = i{cosθ + isinθ} = iy(θ)
より
 
y'(θ) = iy(θ)  … (この微分方程式を解く)
 
y(θ) = Ae^{i(θ + B)} + Ce^{-i(θ + D)} 
と置くと
y'(θ) = iAe^{i(θ + B)} - iCe^{-i(θ + D)} 
なのでC = 0の時y'(θ) = iy(θ)を満たす
y(θ) = Ae^{i(θ + B)} 
y'θ = iAe^{i(θ + B)} = iyθ
 
また
y(0) = cos0 + isin0 = 1 = Ae^{i(0 + B)} 
これはA = 1, B = 0の時成り立つので
y(θ) = Ae^{i(θ + B)} = e^iθ 
は解の1つである
 
よって
y(θ) = cosθ + isinθ = e^iθ 
より
 
e^iθ = cosθ + isinθ
が成り立つ