解析力学 (1回目)

2023/12/1(金)
解析力学 (1回目)
 
解析力学
(Analytical mechanics)
 
一般座標系
 
■ 定義
▼ 微分
･:時間微分(d/dt)
 
▼ 自由度
f:自由度
d:次元
N:質点数
m:拘束条件数
 
f = Nd - m
 
▼ 一般座標
t:時間
i,α = 1～f … (n = f/d)
 
直交座標x_i = (x₁, y₁, z₁, … , x_n, y_n, z_n)
　極座標r_i = (r₁,θ₁,φ₁, … , r_n,θ_n,φ_n)
一般座標q_i   (どの座標系でもよい)

 
q_i = q_i(x_α,t) = q_i(r_α,t)
 
 
■ 導出
▼ 一般速度
q(・)_i:一般速度
 
q(・)_i = (d/dt)q_i(x_α(t),t)
= (∂q_i/∂x_α)(dx_α/dt) + (∂q_i/∂t)
= (∂q_i/∂x_α)x(・)_α + (∂q_i/∂t)
= q(・)_i(x_α, x(・)_α, t)
… (αはアインシュタイン縮約:Σ[α=1～f])
 
x(・)_α = (d/dt)x_α(p_i(t),t)
= (∂x_α/∂q_i)(dq_i/dt) + (∂x_α/∂t)
= (∂x_α/∂q_i)q(・)_i + (∂x_α/∂t)
= x(・)_α(q_i, q(・)_i, t)
… (iはアインシュタイン縮約:Σ[i=1～f])
 
(∂x(・)_α/∂q(・)_i)
= (∂/∂q(・)_i){(∂x_α/∂q_i)q(・)_i + (∂x_α/∂t)}
= {(∂/∂q(・)_i)(∂x_α(q_i,t)/∂q_i)}q(・)_i 
+ (∂x_α/∂q_i){(∂/∂q(・)_i)q(・)_i}
+ (∂/∂q(・)_i)(∂x_α(q_i,t)/∂t)
= 0･q(・)_i + (∂x_α/∂q_i) + 0
= (∂x_α/∂q_i)  … ①
 
 
▼ 一般運動量
T :運動エネルギー
p_i:一般運動量
m_αx(・)_α:直交座標の運動量
 
T = (1/2)Σ[β=1～Nd]m_βx(・)_β² = (1/2)m_βx(・)_β²
… (βはアインシュタイン縮約)
 
(∂/∂v){(1/2)mv²} = mv より
運動エネルギーの速度微分は運動量なので
 
(∂T/∂x(・)_α) = m_αx(・)_α  … ②
また
p_i = (∂T/∂q(・)_i)
と定義すると
p_i = (∂T/∂q(・)_i) = (∂T/∂x(・)_α)(∂x(・)_α/∂q(・)_i)
= m_αx(・)_α(∂x(・)_α/∂q(・)_i)  … (式②より)
= m_αx(・)_α(∂x_α/∂q_i)  … (式①より)
 
 
▼ 一般力
F_α:直交座標の力
Q_i :一般力
 
F_α = m_αx(･･)_α  … (F = maより)
 
p(・)_i = (d/dt){m_αx(・)_α(∂x_α/∂q_i)}
= {(d/dt)m_αx(・)_α}(∂x_α/∂q_i)
+ m_αx(・)_α(d/dt)(∂x_α/∂q_i)
= m_αx(･･)_α(∂x_α/∂q_i)
+ (∂T/∂x(・)_α)(∂/∂q_i)(dx_α/dt)
= F_α(∂x_α/∂q_i)　+ (∂T/∂x(・)_α)(∂x(・)_α/∂q_i)
= F_α(∂x_α/∂q_i)　+ (∂T/∂q_i)
 
Q_i = F_α(∂x_α/∂q_i)
(∂T/∂q_i)  … 慣性力
 
また
p_i = (∂T/∂q(・)_i)より
p(・)_i = (d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = Q_i + (∂T/∂q_i)
 
 
▼ 仕事
W = F･x 
dW = F_αdx_α = F_αdx_α(q_γ) = F_α(∂x_α/∂q_i)dq_i 
= Q_idq_i 
 
 
 
■ 結果
▼ 定義
f:自由度
d:次元
N:質点数
m:拘束条件数
t:時間
T:運動エネルギー
F_α:直交座標の力
 
f = Nd - m
i,α = 1～f … (n = f/d)
 
▼ 一般座標q_i 
直交座標x_i = (x₁, y₁, z₁, … , x_n, y_n, z_n)
　極座標r_i = (r₁,θ₁,φ₁, … , r_n,θ_n,φ_n)
 
q_i = q_i(x_α,t) = q_i(r_α,t)
 
▼ 一般速度q(・)_i 
q(・)_i = q(・)_i(x_α, x(・)_α, t)
= (∂q_i/∂x_α)x(・)_α + (∂q_i/∂t)
 
(∂x(・)_α/∂q(・)_i) = (∂x_α/∂q_i)  … ①
 
▼ 一般運動量p_i 
(∂T/∂x(・)_α) = m_αx(・)_α  … ②(直交座標の運動量)
 
p_i = (∂T/∂q(・)_i) = m_αx(・)_α(∂x_α/∂q_i)
 
▼ 一般力Q_i 
F_α = m_αx(･･)_α  … (F = maより)
Q_i = F_α(∂x_α/∂q_i)
(∂T/∂q_i)  … 慣性力
 
p(・)_i = (d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = Q_i + (∂T/∂q_i)