解析力学 (2回目)

2023/12/3(日)
解析力学 (2回目)
 
解析力学
(Analytical mechanics)
 
ラグランジュ方程式
 
■ 前提
▼ 定義
f:自由度
d:次元
N:質点数
m:拘束条件数
t:時間
T:運動エネルギー
F_α:直交座標の力
 
f = Nd - m
i,α = 1～f … (n = f/d)
 
▼ 一般座標q_i 
直交座標x_i = (x₁, y₁, z₁, … , x_n, y_n, z_n)
　極座標r_i = (r₁,θ₁,φ₁, … , r_n,θ_n,φ_n)
 
q_i = q_i(x_α,t) = q_i(r_α,t)
 
▼ 一般速度q(・)_i 
q(・)_i = q(・)_i(x_α, x(・)_α, t) = (∂q_i/∂x_α)x(・)_α + (∂q_i/∂t)
(∂x(・)_α/∂q(・)_i) = (∂x_α/∂q_i)
 
▼ 一般運動量p_i 
(∂T/∂x(・)_α) = m_αx(・)_α  … (直交座標の運動量)
 
p_i = (∂T/∂q(・)_i) = m_αx(・)_α(∂x_α/∂q_i)
 
▼ 一般力Q_i 
F_α = m_αx(･･)_α  … (F = maより)
Q_i = F_α(∂x_α/∂q_i)
(∂T/∂q_i)  … 慣性力
 
p(・)_i = (d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = Q_i + (∂T/∂q_i)  … ①
 
 
■ 導出
▼ ラグランジュ方程式1
V:ポテンシャルエネルギー(時間変化なしとする)
L:ラグランジアン
(d/dt)(∂V(q_i)/∂q(・)_i) = 0の時
 
保存力F_α = -∂V/∂x_α 
一般力
Q_i = F_α(∂x_α/∂q_i) = -(∂V/∂x_α)(∂x_α/∂q_i)
= -∂V(x_γ)/∂q_i 
= -∂V(q_γ)/∂q_i 
 
式①に代入
(d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = Q_i + (∂T/∂q_i)  … ①
= -∂V/∂q_i + (∂T/∂q_i)
(d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = (∂/∂q_i)(T – V)
ここで
(d/dt)(∂V(q_i)/∂q(・)_i) = 0の時
(d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = (d/dt)(∂/∂q(・)_i)(T – V)
= (∂/∂q_i)(T – V)
 
L(q_γ, q(・)_γ, t) = T(q_γ, q(・)_γ, t) - V(q_γ)
と置くと
ラグランジュ方程式
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
を得る
 
 
▼ ラグランジュ方程式2
V:ポテンシャルエネルギー(時間変化なしとする)
L:ラグランジアン
(d/dt)(∂V(q_i)/∂q(・)_i) = 0とは限らない時
 
ラグランジュ方程式
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
が
L(q_γ, q(・)_γ, t) = T(q_γ, q(・)_γ, t) - V(q_γ, q(・)_γ)
の時も成り立つとすると
 
(d/dt)(∂T/∂q(・)_i) - (d/dt)(∂V/∂q(・)_i)
= (∂T/∂q_i) - (∂V/∂q_i)
(d/dt)(∂T/∂q(・)_i)
= (∂T/∂q_i) - (∂V/∂q_i) + (d/dt)(∂V/∂q(・)_i)
式①より
(d/dt)(∂T/∂q(・)_i) = Q_i + (∂T/∂q_i)  … ①
= (∂T/∂q_i) - (∂V/∂q_i) + (d/dt)(∂V/∂q(・)_i)
なので
 
Q_i = -∂V(q_γ)/∂q_i + (d/dt)(∂V(q_i)/∂q(・)_i)
の時
ラグランジュ方程式
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
L(q_γ, q(・)_γ, t) = T(q_γ, q(・)_γ, t) - V(q_γ, q(・)_γ)
が成り立つ
 
 
▼ ラグランジュ方程式の意味
 (∂T/∂q_i)  … 慣性力
-(∂V/∂q_i)  … 保存力
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂T/∂q_i) - (∂V/∂q_i)
右辺は力(合力)なので
非保存力がある場合も足せばよい
 
Q_i' … 非保存力
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂T/∂q_i) - (∂V/∂q_i) + Q_i'
右辺は合力なので左辺も力(運動量の時間微分)
になっているはずなので
(∂L/∂q(・)_i)  … 一般運動量
と定義する
 
 
■ 結果
▼ ラグランジュ方程式
T:運動エネルギー
V:ポテンシャルエネルギー(時間変化なしとする)
L:ラグランジアン
Q_i:保存力
Q_i':非保存力
 
Q_i = -∂V(q_γ)/∂q_i + (d/dt)(∂V(q_i)/∂q(・)_i)
L(q_γ, q(・)_γ, t) = T(q_γ, q(・)_γ, t) - V(q_γ, q(・)_γ)
 
ラグランジュ方程式
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i) + Q_i'
 
▼ (d/dt)(∂V(q_i)/∂q(・)_i) = 0の時
Q_i = -∂V(q_γ)/∂q_i 
L(q_γ, q(・)_γ, t) = T(q_γ, q(・)_γ, t) - V(q_γ)
 
▼ 一般運動量
 (∂T/∂q_i):慣性力
-(∂V/∂q_i):保存力
p_i:一般運動量 
p_i = (∂L/∂q(・)_i)
 
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i) + Q_i' 
= (∂T/∂q_i) - (∂V/∂q_i) + Q_i'
一般運動量の時間微分 = 慣性力 + 保存力 + 非保存力
 
p(・)_i = (∂L/∂q_i) + Q_i'