解析力学 (3回目)

2023/12/9(土)
解析力学 (3回目)
 
解析力学
(Analytical mechanics)
 
オイラー･ラグランジュ方程式
 
■ 導出
▼ 変分法
ある基準からのズレをδで表すことにする
y = y(x)
f(x, y, y')という関数に対して
I = I[y]  … 関数yの関数(xの値によらない値となる)
I = ∫_a^bf(x, y, y')dx  … ①
とし
 
δI = ∫_a^bδf(x, y, y')dx  … ②
を定義する
ただし始点aと終点bでのズレは無いものとする
δy(a) = δy(b) = 0
 
また
(y, y') → (y+δy, y'+δy')
に変化したときのfの変化量は
δf(x, y, y') = f(x, y+δy, y'+δy') - f(x, y, y')
これは
yによるfの傾き(∂f/∂y) × yの増分δyと
y'によるfの傾き(∂f/∂y') × y'の増分δy'
の和と近似できそうなので
 
δf(x, y, y') = f(x, y+δy, y'+δy') - f(x, y, y')
≒ (∂f/∂y)δy + (∂f/∂y')δy'
と近似し、式①に適用すると
 
δI = ∫_a^bδf(x, y, y')dx  … ②
= ∫_a^b{f(x,y+δy,y'+δy') - f(x,y,y')}dx
≒ ∫_a^b{(∂f/∂y)δy + (∂f/∂y')δy'}dx
 
H = (∂f/∂y)δy , F = (∂T/∂y') , G' = δy'
と置く
 
δy(a) = δy(b) = 0より
[FG]_a^b = [(∂T/∂y')δy]_a^b = 0 と
部分積分 ∫FG' = FG - ∫F'G を使って
 
δI ≒ ∫_a^b{(∂f/∂y)δy + (∂f/∂y')δy'}dx
= ∫_a^b(H + FG')dx
= ∫_a^b H dx + ([FG]_a^b - ∫_a^b F'G dx)
= ∫_a^b(H - F'G)dx
= ∫_a^b{(∂f/∂y)δy - (∂f/∂y')'δy}dx
= ∫_a^b{(∂f/∂y) – (d/dx)(∂f/∂y')}δydx
≒を=に置き換えて
 
δI = ∫_a^b{(∂f/∂y) – (d/dx)(∂f/∂y')}δydx  … ③
 
▼ オイラー･ラグランジュ方程式
式②の積分の中が0の時
変化量が最小(δI = 0)になるので
δI = ∫_a^b{(∂f/∂y) – (d/dx)(∂f/∂y')}δydx  … ③
(∂f/∂y) – (d/dx)(∂f/∂y') = 0
 
オイラー・ラグランジュ方程式
f = f(x, y, y')
(d/dx)(∂f/∂y') = (∂f/∂y)
となる
 
また
f = f(x, y_α, y_α')
δI[y_α] = ∫_a^b{(∂f/∂y_i) – (d/dx)(∂f/∂y_i')}δy_idx  … ④
(d/dx)(∂f/∂y_i') = (∂f/∂y_i)  … ⑤
も成り立つ
 
 
▼ ラグランジュ方程式
式①,④,⑤を
x → t, y → q, y' → q(・),
I → S, f → L, a,b → t_i 
と置き換えると
 
ラグランジュ方程式
L = L(t, q_α, q(・)_α)
S[q_α] = ∫_t1^t2L(t, q_α, q(・)_α)dt
δS[q_α] = ∫_t1^t2{(∂L/∂q_i) – (d/dt)(∂L/∂q(・)_i)}δq_idt
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
となる
 
 
■ 結果
▼ オイラー･ラグランジュ方程式
f = f(x, y_α, y_α')
I[y_α] = ∫_a^bf(x, y, y')dx
δI[y_α] = ∫_a^b{(∂f/∂y_i) – (d/dx)(∂f/∂y_i')}δy_idx
(d/dx)(∂f/∂y_i') = (∂f/∂y_i)
 
▼ ラグランジュ方程式
L = L(t, q_α, q(・)_α)
S[q_α] = ∫_t1^t2L(t, q_α, q(・)_α)dt
δS[q_α] = ∫_t1^t2{(∂L/∂q_i) – (d/dt)(∂L/∂q(・)_i)}δq_idt
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)