解析力学 (4回目)

2023/12/12(火)
解析力学 (4回目)
 
解析力学
(Analytical mechanics)
 
ハミルトニアンと正準運動方程式
 
■ 導出
▼ 定義
正準変数
q_j:正準座標(一般座標)
p_j:正準運動量(一般運動量)
H :ハミルトニアン
L :ラグランジアン
t :時間
 
L(q_α, q(・)_α, t) = T(q_α, q(・)_α, t) - V(q_α, q(・)_α)
p_i = (∂L/∂q(・)_i)
 
ラグランジュ方程式
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
 
 
▼ ハミルトニアンH(q_α, p_α, t)
L(q_α, q(・)_α, t) = T(q_α, q(・)_α, t) - V(q_α, q(・)_α)
のq(・)_αをp_αで表したものをハミルトニアン
H(q_α, p_α, t)と定義する
 
p_i = (∂L/∂q(・)_i)を
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)に代入して
p(・)_i = (∂L/∂q_i)
 
d(p_iq(・)_i) = (dp_i)q(・)_i + p_idq(・)_i より
p_idq(・)_i = d(p_iq(・)_i) - (dp_i)q(・)_i 
 
Lの全微分
dL = (∂L/∂q_i)dq_i + (∂L/∂q(・)_i)dq(・)_i + (∂L/∂t)dt
= p(・)_idq_i + p_idq(・)_i + (∂L/∂t)dt
= p(・)_idq_i + {d(p_iq(・)_i) - (dp_i)q(・)_i} + (∂L/∂t)dt
dL - d(p_iq(・)_i) = p(・)_idq_i - (dp_i)q(・)_i + (∂L/∂t)dt
d(L - p_iq(・)_i) = p(・)_idq_i - (dp_i)q(・)_i + (∂L/∂t)dt
d(p_iq(・)_i - L) = -p(・)_idq_i + q(・)_idp_i - (∂L/∂t)dt
 
ハミルトニアンHを
H(q_α, p_α, t) = p_iq(・)_i - L(q_α, q(・)_α, t)
と置く
省略して
H = p_iq(・)_i - L
dH = -p(・)_idq_i + q(・)_idp_i - (∂L/∂t)dt
 
 
▼ 正準運動方程式(ハミルトニアンの運動方程式)
H(q_α, p_α, t) = p_iq(・)_i - L(q_α, q(・)_α, t)
 
Hの全微分
dH = (∂H/∂q_i)dq_i + (∂H/∂p_i)dp_i + (∂H/∂t)dt
と
dH = -p(・)_idq_i + q(・)_idp_i - (∂L/∂t)dt
を比較して
(∂H/∂q_i)dq_i = -p(・)_idq_i
(∂H/∂p_i)dp_i = q(・)_idp_i
(∂H/∂t)dt = -(∂L/∂t)dt
よって
 
正準運動方程式
∂H/∂q_i = -p(・)_i
∂H/∂p_i = q(・)_i
∂H/∂t = -∂L/∂t
 
 
▼ ハミルトニアンとエネルギー
L(q_α, q(・)_α, t) = T(q_α, q(・)_α, t) - V(q_α, q(・)_α)
H(q_α, p_α, t) = p_iq(・)_i - L(q_α, q(・)_α, t)
 
pq(・) = pv = mv² = 2T  … [T = (1/2)mv²]
と
L = T - V
より
H = pq(・) - L = 2T - (T - V) = T + V
 
 
■ 結果
▼ 定義
正準変数
q_j:正準座標(一般座標)
p_j:正準運動量(一般運動量)
H :ハミルトニアン
L :ラグランジアン
t :時間
 
▼ ラグランジアンとラグランジュ方程式
L(q_α, q(・)_α, t) = T(q_α, q(・)_α, t) - V(q_α, q(・)_α)
p_i = (∂L/∂q(・)_i)
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
 
 
▼ ハミルトニアンと正準運動方程式
H(q_α, p_α, t) = p_iq(・)_i - L(q_α, q(・)_α, t)
= T(q_α, q(・)_α, t) + V(q_α, q(・)_α)
= T(q_α, p_α, t) + V(q_α, p_α)
 
∂H/∂q_i = -p(・)_i 
∂H/∂p_i =  q(・)_i 
∂H/∂t  = -∂L/∂t